Для того чтобы найти общий вид первообразной функции f(x) = 6/x - x^3, мы будем использовать метод интегрирования по частям.
Шаг 1: Разложение функции
Для начала, давайте разложим функцию на две отдельные функции, чтобы применить метод интегрирования по частям. Мы можем разложить f(x) следующим образом:
f(x) = 6/x - x^3
= 6/x - x*x*x
Теперь у нас есть две функции: u = 6/x и v' = x*x*x.
Шаг 2: Применение метода интегрирования по частям
Метод интегрирования по частям гласит:
Шаг 1: Разложение функции
Для начала, давайте разложим функцию на две отдельные функции, чтобы применить метод интегрирования по частям. Мы можем разложить f(x) следующим образом:
f(x) = 6/x - x^3
= 6/x - x*x*x
Теперь у нас есть две функции: u = 6/x и v' = x*x*x.
Шаг 2: Применение метода интегрирования по частям
Метод интегрирования по частям гласит:
∫ u * v' dx = u * v - ∫ v * u' dx
Применим этот метод к нашим функциям:
∫ (6/x) * (x*x*x) dx = (6/x) * ∫ (x*x*x) dx - ∫ ((x*x*x) * (d/dx)(6/x)) dx
Шаг 3: Интегрирование каждого члена отдельно
Теперь давайте интегрируем каждый член по отдельности:
∫ (6/x) * (x*x*x) dx = (6/x) * ∫ x^3 dx - ∫ ((x*x*x) * (d/dx)(6/x)) dx
Интегрируя первый и третий члены, мы получим:
= (6/x) * (1/4) * x^4 - ∫ ((x*x*x) * (-6/x^2)) dx
= (6/x) * (1/4) * x^4 + ∫ (6/x) * x^2 dx
Шаг 4: Упрощение и интегрирование оставшихся функций
Теперь давайте упростим оставшиеся функции и продолжим интегрирование:
= (3/2) * x^3 + ∫ 6x dx
= (3/2) * x^3 + 6 * ∫ x dx
= (3/2) * x^3 + 6 * (1/2) * x^2 + C
Шаг 5: Общий вид первообразной функции
Итак, общий вид первообразной функции f(x) = 6/x - x^3 равен:
F(x) = (3/2) * x^3 + 3 * x^2 + C
Где C - произвольная постоянная.