Question

Найдите наименьшее значение функции y=(x^2+18x-18)e^x

Answer 1

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Для нахождения наименьшего значения функции y=(x^2+18x-18)e^x, мы можем использовать метод дифференцирования.

Шаг 1: Найдем производную функции y по переменной x.
Для этого мы можем использовать правило дифференцирования произведения функций:

dy/dx = (x^2+18x-18)(e^x)' + (x^2+18x-18)'(e^x)

Дифференцируем каждую часть по отдельности:

(e^x)’ = e^x (по правилу дифференцирования функции e^x)
(x^2+18x-18)’ = 2x+18 (по правилу дифференцирования функции x^2)

Подставим значения в формулу:

dy/dx = (x^2+18x-18)(e^x) + (2x+18)(e^x)

Шаг 2: Установим уравнение dy/dx = 0 и найдем значения x, которые удовлетворяют этому условию.

dy/dx = (x^2+18x-18)(e^x) + (2x+18)(e^x) = 0

Факторизуем общий множитель e^x:

e^x((x^2+18x-18) + (2x+18)) = 0

e^x(x^2+20x) = 0

Теперь у нас есть два уравнения, которые равны нулю:

e^x = 0 или (x^2+20x) = 0

Уравнение e^x = 0 не имеет решений, поскольку экспоненциальная функция e^x всегда положительна.

Решим уравнение (x^2+20x) = 0:

x(x+20) = 0

x = 0 или x = -20

Шаг 3: После нахождения значений x, мы подставляем их обратно в исходную функцию y=(x^2+18x-18)e^x для определения соответствующих значений y.

Подставим x = 0:

y = (0^2+18*0-18)e^0
= (-18)e^0
= -18*1
= -18

Подставим x = -20:

y = ((-20)^2+18*(-20)-18)e^-20
= (400 - 360 - 18)e^-20
= 22e^-20 (около)

Таким образом, наименьшее значение функции y=(x^2+18x-18)e^x равно -18.