Question

Отметьте верны ли эти утверждения:
1. В точке возрастания функции её производная больше нуля.
2. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это стационарная точка.
3. Производная произведения равна произведению производных.
4. Наибольшее и наименьшее значения функции на некотором отрезке наблюдаются или в стационарных точках, или на концах отрезка.
5. Любая точка экстремума является критической точкой.

Answer 1

1. Верно. Для функции, чья производная положительна, значит, что функция возрастает. Если производная отрицательна, то функция убывает. Для удобства, обозначим производную функции как f'(x). Если f'(x) > 0, то функция возрастает.

2. Неверно. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, это может означать, что в этой точке функция имеет экстремум – максимум или минимум. Такие точки называются критическими. Однако, это не обязательно стационарные точки. При стационарной точке, производная равна нулю, но не обязательно, что если производная равна нулю, то это стационарная точка.

3. Верно. Производная произведения двух функций равна произведению производных этих функций. Данное свойство называется правилом производной произведения (или правилом Лейбница).

4. Верно. Наибольшее и наименьшее значения функции на некотором отрезке наблюдаются или в стационарных точках, или на концах отрезка. Это следует из того, что в стационарных точках функция может иметь экстремумы, а на концах отрезка она достигает максимальных и минимальных значений из-за ограничений самого отрезка.

5. Неверно. Не всякая точка экстремума является критической точкой. Как уже упоминалось, в точке экстремума значение функции может быть максимальным или минимальным, но это не обязательно означает, что производная равна нулю. То есть, критические точки – это точки, где производная равна нулю или не существует, и они могут быть экстремумами или точками перегиба функции.