ответ: -2/3.
Пошаговое объяснение:
Положим x-π/3=t, тогда x=t+π/3 и при x⇒π/3 t⇒0. Тогда данный предел можно записать в виде lim [√3-sin(t)-√3*cos(t)]/sin(3*t/2), где t⇒0. Но так как √3-√3*cos(t)=√3*[1-cos(t)]=2*√3*sin²(t/2), то этот предел можно записать в виде lim[-sin(t)+2*√3*sin²(t/2)]/sin(3*t/2), где t⇒0. Но при t⇒0 бесконечно малые величины sin(t), sin²(t/2) и sin(3*t/2) можно заменить эквивалентными бесконечно малыми t, (t/2)²=t²/4 и 3*t/2 соответственно, так что данный предел примет вид 2/3*lim [-t+√3*t²/2]/t=2/3*lim(-t/t)+1/√3*lim(t²/t)=-2/3+1/√3*lim(t), где t⇒0. Отсюда искомый предел равен -2/3.
Проведём проверку по правилу Лопиталя: [2*sin(x)-√3]'=2*cos(x), а [cos(3*x/2)]'=-3/2*sin(3*x/2). При x⇒π/3 первое выражение стремится к 1, а второе - к -3/2. Поэтому их отношение стремится к 1/(-3/2)=-2/3, что совпадает с полученным ответом.
Обозначим углы при основании в каждом указанном выше треугольнике соответственно как А, А1, А2, А3. Понятно, что угол А - это угол при основании исходного треугольника АВС, а угол А3 - это угол при его вершине.
Найдем значение угла А3, последовательно выражая углы А1, А2, А3 через угол А. Как?
Для примера. Угол А1 есть часть угла А, которая находится как разность угла А и угла АСD. Угол АСD при вершине равнобедренного треугольника АСD равен 180-2А.
И так до конца, т.е до выражения угла А3 через А.
Далее составляется уравнение: 2А+А3(выраженное через А)=180.
Если все правильно выразите, то должно получиться
9А=360, т.е. А=40.
Успехов, дерзайте!