Тело движется прямолинейно, и его скорость изменяется по закону u(t) = -sin4t. Какое расстояние тело за п/2, если момент времени t0=(п/4) оно находилось на расстоянии 0.75 м от начала движения?
Добрый день, я рад выступить в роли вашего школьного учителя и помочь вам разобраться с этим вопросом.
Для начала, давайте разберемся, что означают все данные в задаче.
Закон изменения скорости тела дан в виде уравнения u(t) = -sin(4t), где u(t) - скорость тела в момент времени t. Знак "-" перед sin(4t) говорит нам о том, что скорость меняется в противоположную сторону синусоидально.
Дан также момент времени t0 = п/4, когда тело находилось на расстоянии 0.75 м от начала движения. Мы должны найти расстояние, которое тело прошло к моменту времени t = п/2.
Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться определением скорости как производной от пройденного пути по времени. В данном случае, нам дано уравнение для скорости, поэтому нужно найти пройденный путь, интегрировав скорость.
Давайте найдем пройденный путь t = п/2, используя следующую формулу:
s(t) = ∫[от t0 до t] u(t) dt,
где s(t) - пройденный путь в момент времени t.
Интегрируя скорость u(t) = -sin(4t) по времени от t0 до t, получим:
s(t) = ∫[от п/4 до п/2] -sin(4t) dt,
Чтобы проще работать с этим интегралом, воспользуемся тригонометрическим тождеством sin(2x) = 2sin(x)cos(x).
Интегрируя по частям, получим:
s(t) = [-1/4cos(4t)](от п/4 до п/2) + 1/4 ∫[от п/4 до п/2] cos(4t) dt.
Теперь вычислим каждую часть отдельно. Подставляя границы интегрирования, получим:
Для начала, давайте разберемся, что означают все данные в задаче.
Закон изменения скорости тела дан в виде уравнения u(t) = -sin(4t), где u(t) - скорость тела в момент времени t. Знак "-" перед sin(4t) говорит нам о том, что скорость меняется в противоположную сторону синусоидально.
Дан также момент времени t0 = п/4, когда тело находилось на расстоянии 0.75 м от начала движения. Мы должны найти расстояние, которое тело прошло к моменту времени t = п/2.
Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться определением скорости как производной от пройденного пути по времени. В данном случае, нам дано уравнение для скорости, поэтому нужно найти пройденный путь, интегрировав скорость.
Давайте найдем пройденный путь t = п/2, используя следующую формулу:
s(t) = ∫[от t0 до t] u(t) dt,
где s(t) - пройденный путь в момент времени t.
Интегрируя скорость u(t) = -sin(4t) по времени от t0 до t, получим:
s(t) = ∫[от п/4 до п/2] -sin(4t) dt,
Чтобы проще работать с этим интегралом, воспользуемся тригонометрическим тождеством sin(2x) = 2sin(x)cos(x).
Интегрируя по частям, получим:
s(t) = [-1/4cos(4t)](от п/4 до п/2) + 1/4 ∫[от п/4 до п/2] cos(4t) dt.
Теперь вычислим каждую часть отдельно. Подставляя границы интегрирования, получим:
s(t) = [-1/4cos(4(п/2))] - [-1/4cos(4(п/4))] + 1/4 ∫[от п/4 до п/2] cos(4t) dt.
Упростив эту формулу, получим:
s(t) = [-1/4cos(2π)] - [-1/4cos(π)] + 1/4 ∫[от п/4 до п/2] cos(4t) dt.
Так как cos(2π) равно 1 и cos(π) равно -1, то:
s(t) = -(-1/4) - (-1/4) + 1/4 ∫[от п/4 до п/2] cos(4t) dt.
Проведя арифметические операции, получим:
s(t) = 1/4 + 1/4 ∫[от п/4 до п/2] cos(4t) dt.
Теперь проведем интегрирование:
s(t) = 1/4 + 1/4 [1/4sin(4t)](от п/4 до п/2).
Подставляя границы интегрирования, получим:
s(t) = 1/4 + 1/4 [1/4sin(4(п/2))] - 1/4 [1/4sin(4(п/4))].
Так как sin(4(п/2)) равно 0 и sin(4(п/4)) равно 1, то:
s(t) = 1/4 + 1/4 [1/4(0)] - 1/4 [1/4(1)].
Таким образом, пройденный путь тела к моменту времени t = п/2 равен:
s(t) = 1/4 + 0 - 1/16.
Выполнив арифметические операции, получим:
s(t) = 1/4 - 1/16 = 4/16 - 1/16 = 3/16.
Итак, расстояние, которое тело прошло к моменту времени t = п/2, составляет 3/16 м, или 0.1875 м.
Таким образом, ответ на задачу составляет 0.1875 метра.