Question

Из центра квадрата АВСD со стороной 18см. к его плоскости восстановлен перпендикуляр ОМ длиной 12см. Найдите площадь треугольника АВМ.

Answer 1

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

Чертежи приведены ко 2-ому и 3-ему случаям!

Для 1-ого случая можно использовать 1-ый чертеж с введенными в объяснении уточнениями, исключив ненужные построения.

Заметим, что треугольник AOB прямоугольный и равнобедренный. Тогда его высота (назовем ее OH) совпадает с медианой и равна $18\div2=9$. По теореме о трех перпендикулярах MH будет высотой треугольника ABM, а так как OM перпендикулярна плоскости квадрата ABCD, то по теореме Пифагора $MH=\sqrt{144+81}=15$. Откуда $S_{ABM}=\dfrac{1}{2}\times15\times18=135$см².

Приведу другое решение задачи:

Проведем AO. Поскольку OM перпендикулярен плоскости, то ΔAOM прямоугольный. Заметим, что AO - половина диагонали квадрата, так как точка O - центр квадрата.

Найдем AO:

$x^2=18^2+18^2\\x^2=648\\x=18\sqrt{2}\\=AO=9\sqrt{2}$

По теореме Пифагора для ΔAOM:

$AM=\sqrt{162+144}=3\sqrt{34}$

Аналогично $BM=3\sqrt{34}$, так как диагонали квадрата равны.

Искать площадь по формуле Герона не удобно, так как получили значения с корнями.

Поэтому воспользуемся теоремой косинусов:

$18^2=(3\sqrt{34})^2+(3\sqrt{34})^2-2\times(3\sqrt{34})^2\times\cos\alpha\\\cos\alpha=\dfrac{8}{17}\\=\sin\alpha = \dfrac{15}{17}$

Тогда площадь треугольника ABM равна:

$S_{ABM}=\dfrac{1}{2}\times(3\sqrt{34})^2\times\dfrac{15}{17}=\dfrac{9\times34\times15}{34}=9\times15=135$

Получили, что площадь треугольника ABM равна 135см².

Замечу, что в задаче не указано, что центр квадрата - это точка O. Так принято. Однако возможен другой случай, где эти точки поменяны местами. Тогда $S_{ABM}=\dfrac{1}{2}\times(9\sqrt{2})^2=81$. Единицы измерения см².

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся основные свойства прямоугольных треугольников, квадратов и перпендикуляров.

Во-первых, давайте посмотрим на основные свойства прямоугольных треугольников. В них один из углов равен 90 градусов. В нашей задаче перпендикуляр ОМ восстановлен к плоскости квадрата АВСD, поэтому треугольник АМО является прямоугольным.
Зная, что ОМ равен 12 см, и у нас есть прямоугольный треугольник, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину гипотенузы АМ треугольника АМО.
По теореме Пифагора:
гипотенуза² = катет₁² + катет₂².

Так как М — это середина стороны AB, то катет1 равен половине стороны АВ, то есть 18 см / 2 = 9 см.
Исходя из того, что ОМ равен 12 см, мы можем найти длину гипотенузы АМ:
гипотенуза² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225.
Возведем гипотенузу в квадрат: √225 = 15 см.

Теперь, когда у нас есть длина гипотенузы АМ, мы можем найти площадь треугольника АМВ по формуле:
площадь = 0,5 * основание * высота.

Основанием треугольника АМВ будет сторона АВ квадрата, то есть 18 см.
Высотой треугольника АМВ будет перпендикуляр ОМ, который равен 12 см.
Подставим значения в формулу:
площадь = 0,5 * 18 см * 12 см = 108 см².

Итак, площадь треугольника АВМ составляет 108 квадратных сантиметров.