Question

Найти y". {x=arctgt y=ln(1+t^2)

Answer 1

Чтобы найти значение y при известных значениях x, мы можем использовать подстановку исходных уравнений.

Дано:
x = arctan(t)
y = ln(1+t^2)

1. Сначала заменим x в уравнении для y:
y = ln(1+t^2) = ln(1+(tan(x))^2)

2. Заменим (tan(x))^2, используя тригонометрическое тождество:
(tan(x))^2 = (sin(x)/cos(x))^2 = sin^2(x) / cos^2(x)

3. Подставим полученное выражение в уравнение для y:
y = ln(1+sin^2(x)/cos^2(x))

4. Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов:
y = ln((cos^2(x) + sin^2(x))/cos^2(x))
y = ln(1/cos^2(x))
y = -2ln(cos(x))

Таким образом, искомое значение y равно -2ln(cos(x)).