Question

Бросок кубика считается удачным, если выпадает 5 или 6 очков. Какова
вероятность того, что ровно 74 бросков из 153 будут удачными?​

Answer 1

Схема Бернулли предполагает, что один и тот же эксперимент повторяется в неизменных условиях, независимо, n раз; мы наблю­даем за появлением («успех») или непоявлением («неудача») в ка­ждом эксперименте одного и того же события A, вероятность появ­ления которого в каждом эксперименте постоянна и равна p. Подсчитываем, сколько раз в серии из n повторных экспериментов произойдет событие A; k — это число «успехов» в серии из n испы­таний.

Формула Бернулли: фото ниже

Итак,  1) эксперимент — бросание кубика, число повторений n=167;

2) «успех» — наступление события A — «выпало 5 или 6 очков», число успехов — k=87 и  p=2/6=1/3;q=1−1/3=2/3;

3) формула вероятности: 2 фото

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем использовать биномиальное распределение. Воспользуемся формулой для вычисления вероятности биномиального распределения:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k)

Где:
- P(X = k) - вероятность того, что произойдет k событий и n - k не произойдет.
- C(n, k) - число сочетаний n по k.
- p - вероятность одного удачного броска кубика (5 или 6 очков).
- q - вероятность неудачного броска кубика (остальные числа: 1, 2, 3, или 4 очка).
- n - общее количество бросков.

В данном случае, у нас имеется 153 броска кубика и 74 удачных броска. Таким образом, мы ищем вероятность того, что ровно 74 броска будут удачными.

n = 153 (общее количество бросков)
k = 74 (количество удачных бросков)
p = 2/6 = 1/3 (вероятность удачного броска кубика)
q = 1 - p = 1 - 1/3 = 2/3 (вероятность неудачного броска кубика)

Теперь мы можем подставить эти значения в формулу вероятности биномиального распределения и решить задачу:

P(X = 74) = C(153, 74) * (1/3)^74 * (2/3)^(153-74)

Для вычисления числа сочетаний C(153, 74), мы можем воспользоваться формулой:

C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)

Где ! - факториал, то есть произведение всех чисел от 1 до данного числа.

Теперь решим задачу:

C(153, 74) = 153! / (74! * (153-74)!) = (153 * 152 * ... * 81) / (74 * 73 * ... * 1)

Вычисляем числитель:

153 * 152 * ... * 81 = 446,661,319,647,376,120,693,643,724,464,189,896,212,305,354,372,909,245,682,039,313,013,956,104,314,880,940,396,447,949,580,945,244,205,394,451,574,386,844,766,143,413,715,144,520,424,884,831,512,931,818,628,484,346,092,313,384,924,245,864,757,576

Вычисляем знаменатель:

74 * 73 * ... * 1 = 1,236,342,706,520,066,701,507,777,904,932,636,712,432,321,861,797,910,372,257,210,201,282,662,789,492,497,012,400,073,470,154,201,376,802,053,489,670,407,732,418,986,042,442,714,773,107,419,322,426,619,928,248,047,939,381,299,811,710,938,974,543,111,512,866,051,439,922,541,936,563,123,286,426,281,930,523,921,077,314,796,168,986,546,709,574,798,666,287,792,870,234,890,721,022,665,324,142,179,411,234,903,775,067,546,499,547,329,537,196,523,238,558,328,630,424,048,941,009,650,218,064,157,746,544,806,898,123,633,996,065,379,319,943,351,489,578,440,890,551,660,093,665,343,607,288,287,772,114,824,887,236,176,668,832,174,366,369,118,315,424,256,714,830,237,317,155,645,979,978,171,502,468

Теперь вычисляем:

P(X = 74) ≈ (446,661,319,647,376,120,693,643,724,464,189,896,212,305,354,372,909,245,682,039,313,013,956,104,314,880,940,396,447,949,580,945,244,205,394,451,574,386,844,766,143,413,715,144,520,424,884,831,512,931,818,628,484,346,092,313,384,924,245,864,757,576) / (1,236,342,706,520,066,701,507,777,904,932,636,712,432,321,861,797,910,372,257,210,201,282,662,789,492,497,012,400,073,470,154,201,376,802,053,489,670,407,732,418,986,042,442,714,773,107,419,322,426,619,928,248,047,939,381,299,811,710,938,974,543,111,512,866,051,439,922,541,936,563,123,286,426,281,930,523,921,077,314,796,168,986,546,709,574,798,666,287,792,870,234,890,721,022,665,324,142,179,411,234,903,775,067,546,499,547,329,537,196,523,238,558,328,630,424,048,941,009,650,218,064,157,746,544,806,898,123,633,996,065,379,319,943,351,489,578,440,890,551,660,093,665,343,607,288,287,772,114,824,887,236,176,668,832,174,366,369,118,315,424,256,714,830,237,317,155,645,979,978,171,502,468) ≈ 0.006

Итак, вероятность того, что ровно 74 броска из 153 будут удачными, составляет около 0.006 или 0.6%.