Question

Точки A1, B1 и C1 — середины сторон BC, CA и AB треугольника ABC . Известно, что ∠A=44∘, ∠B=54∘. Найдите сумму ∠C1A1C+∠A1B1A+∠B1C1B.

Answer 1

Для начала, давайте построим треугольник ABC и его середины точки A1, B1 и C1.

По определению, серединой отрезка является точка, которая делит его пополам. Таким образом, точка A1 - середина стороны BC (A1 является серединой BC), точка B1 - середина стороны CA (B1 является серединой CA), и точка C1 - середина стороны AB (C1 является серединой AB).

Теперь обратимся к известным углам ∠A=44∘ и ∠B=54∘. Нам нужно найти сумму ∠C1A1C+∠A1B1A+∠B1C1B.

Первым шагом найдем угол ∠BCA. В треугольнике ABC сумма углов равна 180°, поэтому ∠BCA=180°-∠A-∠B.

∠BCA=180°-44°-54°=82°.

Теперь обратимся к треугольнику A1BC1. Так как AA1C1 - прямоугольник (вершины A, A1 и C1 образуют прямой угол), то ∠C1A1C=90°.

Теперь рассмотрим треугольник A1BA. Так как BC является средней линией треугольника ABC, то A1B || AB (A1B1 параллельна AB) и A1B=AB/2. Также известно, что A1B1 является средней линией треугольника BAC, поэтому B1A || AC (B1A1 параллельна AC) и B1A=AC/2. Так как ∠A=44°, то ∠A1B1A=180°-∠B1A-∠A.

∠A1B1A=180°-∠B1A-∠A=180°-(360°-∠C1)-(180°-∠A)=180°-360°+∠C1+∠A=∠C1A+∠A.

Также рассмотрим треугольник B1CB. Так как AC является средней линией треугольника ABC, то A1C || BC (A1C1 параллельна BC) и A1C=BC/2. Также известно, что A1C1 является средней линией треугольника BCA, поэтому B1C || BA (B1C1 параллельна BA) и B1C=BA/2. Так как ∠B=54°, то ∠B1C1B=180°-∠C1B-∠B.

∠B1C1B=180°-∠C1B-∠B=180°-(180°-∠C)-∠B=∠C1C+∠C.

Теперь мы можем записать сумму ∠C1A1C+∠A1B1A+∠B1C1B.

∠C1A1C+∠A1B1A+∠B1C1B=90°+(∠C1A+∠A)+(∠C1C+∠C)=180°+(∠A+∠C).

В треугольнике ABC сумма углов равна 180°, поэтому ∠A+∠B+∠C=180°.

∠A+∠C=180°-∠B=180°-54°=126°.

Итак, ∠C1A1C+∠A1B1A+∠B1C1B=180°+126°=306°.

Ответ: сумма углов ∠C1A1C+∠A1B1A+∠B1C1B равна 306°.