Question

Вычислить объем тела вращения фигуры, ограниченной графиками y=arcsin(x/5), y=arcsin(x), y=pi/2 вокруг оси oy​

Answer 1

$y=arcsin\frac{x}{5}\; \; \Rightarrow \; \; siny=\frac{x}{5}\; ,\; \; x=5\, siny\\\\y=arcsinx\; \; \Rightarrow \; \; x=siny\; \; ,\; \; y=\frac{\pi}{2}\\\\\\V=\pi \int\limits^a_b\, (x_1^2-x_2^2)\, dy=\pi \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0(25sin^2y-sin^2y)\, dy=24\pi \int\limits^{\gtav{\pi}{2}}_0\sin^2y \, dy=\\\\=12\pi \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\, (1-cos2y)dy=12\pi (y-\frac{1}{2}\, sin2y)\Big |_0^{\frac{\pi}{2}}=\\\\=12\pi (\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\, sin\pi )=6\pi ^2$