y"=2y' - это линейное однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.
y"-2y'=0 (1)
Составим и решим характеристическое уравнение:
р²-2p=0
p*(p-2)=0
p₁=0
p₂=2
Получены два различных действительных корня, поэтому общее решение имеет вид:
y=C₁*e^(p₁*x)+C₂*e^(p₂*x), где p₁ и p₂ - корни характеристического уравнения, C₁ и C₂ - константы.
y=C₁*e^(0*x)+C₂*e^(2*x)
y=C₁+C₂*e^(2*x) - общее решение (2).
Теперь нужно найти частное решение, соответствующее заданным начальным условиям. Наша задача состоит в том, чтобы найти такие значения констант С₁ и С₂, чтобы выполнялись оба условия.
Сначала используем начальное условие y(0)=3/2:
y(0)=C₁+C₂*e^(2*0)=C₁+C₂
Согласно начальному условию получаем первое уравнение:
C₁+C₂=3/2 (3)
Далее берем общее решение (2) и находим производную:
за 7,5 мин ? куб.м, но 2/3 бассейна за 5 мин ?, куб.м, но осталось 20 куб.м емкость бассейна ---? Решение. Примем емкость бассейна за Х куб.м. 1). 5 :7,5 = 2/3 (части) доля объема воды, выкачиваемого за 5 мин от объема, выкачиваемого за 7,5 мин. 2). (2/3)*Х*(2/3) = (4/9)Х объем выкаченной за 5 мин воды. 3). Х - (4/9)Х = (5/9)Х объем оставшейся в бассейне воды после 5 мин работы насоса. Т. к. по условию после 5 мин работы насоса воды осталось 20 куб.м, составим и решим уравнение: (5/9)Х = 20; Х = (20:5)*9 = 36(куб.м) ответ: Объем бассейна составляет 36 куб.м. Проверка: 36*(2/3) = 24(куб.м) выкачивают за 7, 5 мин; (24:7,5)*5=16(куб.м) выкачали за 5 мин; 36 -16 =20(куб.м) остается после 5 минут работы насоса, что соответствует условию.
d²y/dx²=2*dy/dx
Можно переписать:
y"=2y' - это линейное однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.
y"-2y'=0 (1)
Составим и решим характеристическое уравнение:
р²-2p=0
p*(p-2)=0
p₁=0
p₂=2
Получены два различных действительных корня, поэтому общее решение имеет вид:
y=C₁*e^(p₁*x)+C₂*e^(p₂*x), где p₁ и p₂ - корни характеристического уравнения, C₁ и C₂ - константы.
y=C₁*e^(0*x)+C₂*e^(2*x)
y=C₁+C₂*e^(2*x) - общее решение (2).
Теперь нужно найти частное решение, соответствующее заданным начальным условиям. Наша задача состоит в том, чтобы найти такие значения констант С₁ и С₂, чтобы выполнялись оба условия.
Сначала используем начальное условие y(0)=3/2:
y(0)=C₁+C₂*e^(2*0)=C₁+C₂
Согласно начальному условию получаем первое уравнение:
C₁+C₂=3/2 (3)
Далее берем общее решение (2) и находим производную:
y'=(C₁+C₂*e^(2*x))'=0+2*C₂*e^(2*x)=2*C₂*e^(2*x)
Используем второе начальное условие y'(0)=1:
y'(0)=2*C₂*e^(2*0)=2*C₂
2*C₂=1
C₂=1/2 (4)
Теперь поддставим (4) в (3):
C₁+1/2=3/2
C₁=1 (5)
Остается подставить (4) и (5) в (2):
y=1+3/2*e^(2*x) - частное решение.
ответ: y=C₁+C₂*e^(2*x) - общее решение
y=1+3/2*e^(2*x) - частное решение
Подробнее - на -
Пошаговое объяснение: