Для того чтобы функция f(x) могла быть плотностью распределения, она должна удовлетворять двум условиям:
1. Значения функции f(x) должны быть неотрицательными на всем указанном промежутке.
2. Интеграл функции f(x) по всему промежутку должен быть равен 1.
Для нахождения константы A, мы можем использовать второе условие и решить уравнение:
∫ f(x) dx = 1,
где ∫ означает интегрирование функции по всему промежутку.
Следует заметить, что функция f(x) задана раздельно на двух промежутках: от 0 до 1 и от 1 до 2.
Для первого промежутка от 0 до 1, функция f(x) определена как Ax. Таким образом, мы получаем:
∫(от 0 до 1) Ax dx = 1.
Интегрируя по переменной x, получаем:
A ∫(от 0 до 1) x dx = 1.
Вычисляя интеграл, получаем:
A * [x^2/2] (от 0 до 1) = 1.
Подставляем границы интегрирования и упрощаем выражение:
A * (1^2/2 - 0^2/2) = 1.
A * 1/2 = 1.
Умножая обе части уравнения на 2, получаем:
A = 2.
Таким образом, константа A равна 2.
Теперь, для того чтобы найти функцию распределения F(x), мы должны проинтегрировать функцию плотности f(x) по переменной x от минимального значения до x:
F(x) = ∫(от минимального значения до x) f(t) dt.
Раздельно рассмотрим первый и второй промежутки:
Для первого промежутка от 0 до 1, функция распределения будет равна:
F(x) = ∫(от 0 до x) 2t dt.
Интегрируя, получаем:
F(x) = 2 ∫(от 0 до x) t dt = [t^2] (от 0 до x).
Подставляем границы интегрирования и упрощаем выражение:
F(x) = x^2 - 0^2 = x^2.
Для второго промежутка от 1 до 2, функция распределения будет равна:
F(x) = ∫(от 1 до x) 1 dt.
Интегрируя, получаем:
F(x) = ∫(от 1 до x) 1 dt = [t] (от 1 до x).
Подставляем границы интегрирования и упрощаем выражение:
F(x) = x - 1.
Таким образом, функция распределения F(x) будет равна:
F(x) =
{
x^2, если x принадлежит [0,1],
x - 1, если x принадлежит (1,2].
}
Чтобы найти математическое ожидание E(X), мы должны вычислить интеграл ∫(от -∞ до +∞) x f(x) dx.
Так как функция f(x) равна 2x на отрезке [0,1], и 0 на отрезке (1,2], то математическое ожидание E(X) можно вычислить следующим образом:
E(X) = ∫(от 0 до 1) 2x^2 dx + ∫(от 1 до 2) 0 dx.
Интегрируя, получаем:
E(X) = [2x^3/3] (от 0 до 1) + 0.
Подставляем границы интегрирования и упрощаем выражение:
E(X) = (2/3 - 0) = 2/3.
Таким образом, математическое ожидание случайной величины X равно 2/3.
Для нахождения дисперсии V(X), мы должны использовать формулу V(X) = E(X^2) - (E(X))^2.
Для вычисления E(X^2), мы должны вычислить интеграл ∫(от -∞ до +∞) x^2 f(x) dx.
Используя функцию плотности f(x) как в предыдущем пункте, мы имеем:
E(X^2) = ∫(от 0 до 1) 2x^3 dx + ∫(от 1 до 2) 0 dx.
Интегрируя, получаем:
E(X^2) = [2x^4/4] (от 0 до 1) + 0.
Подставляем границы интегрирования и упрощаем выражение:
E(X^2) = (1/2 - 0) = 1/2.
Теперь мы можем вычислить дисперсию V(X):
V(X) = E(X^2) - (E(X))^2.
Подставляем значения E(X) и E(X^2):
V(X) = 1/2 - (2/3)^2 .
Упрощаем выражение:
V(X) = 1/2 - 4/9.
Для удобства, приводим оба слагаемых к общему знаменателю:
V(X) = 9/18 - 8/18.
Вычитаем числители и упрощаем:
V(X) = 1/18.
Таким образом, дисперсия случайной величины X равна 1/18.
Для нахождения среднего квадратического отклонения случайной величины X, мы должны вычислить квадратный корень из дисперсии:
σ(X) = √(V(X)).
Подставляем значение дисперсии:
σ(X) = √(1/18).
Упрощаем выражение:
σ(X) = √(1/3^2 * 2).
Таким образом, среднее квадратическое отклонение случайной величины X составляет √(1/3) или 1/√3 .
Привет! Я с радостью выступлю в роли школьного учителя и помогу тебе разобраться с этим вопросом.
Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно разбить его на несколько шагов и последовательно решать каждый из них. Давай начнем!
1. Давай посмотрим, что означает выражение "закрасил несколько клеточек на квадратном листке". Представь, что у нас есть квадратный лист бумаги, разделенный на клетки. Лёня выбрал несколько клеток и закрасил их. Давай предположим, что здесь несколько закрашенных клеток, чтобы было проще.
2. Следующий шаг - "сложил его диагонали получился отпечаток". Что такое диагональ? Диагональ - это отрезок, соединяющий два противоположных угла квадрата. То есть, по сути, Лёня сложил две диагонали квадрата и получил отпечаток.
3. Допустим, у нас есть закрашенные клетки и две диагонали нашего квадратного листа. Что теперь делать? Нам нужно найти отпечаток, то есть, на каких клетках диагонали пересекаются.
4. Здесь важно понять, что диагонали квадрата всегда пересекаются в его центре. То есть, точка пересечения диагоналей будет находиться в точке, где проходят через все клетки в центре квадрата.
5. Поскольку у нас нет информации о том, сколько клеток Лёня закрасил, мы не можем точно сказать, какие именно клетки будут пересекаться диагоналями. Но точку пересечения мы можем указать.
6. Таким образом, ответ на вопрос будет таким: при сложении диагоналей закрашенные клетки не важны, но точка пересечения диагоналей будет находиться в центре квадрата.
Надеюсь, мой ответ был обстоятельным и помог тебе разобраться в этом вопросе. Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся, спрашивай!
1. Значения функции f(x) должны быть неотрицательными на всем указанном промежутке.
2. Интеграл функции f(x) по всему промежутку должен быть равен 1.
Для нахождения константы A, мы можем использовать второе условие и решить уравнение:
∫ f(x) dx = 1,
где ∫ означает интегрирование функции по всему промежутку.
Следует заметить, что функция f(x) задана раздельно на двух промежутках: от 0 до 1 и от 1 до 2.
Для первого промежутка от 0 до 1, функция f(x) определена как Ax. Таким образом, мы получаем:
∫(от 0 до 1) Ax dx = 1.
Интегрируя по переменной x, получаем:
A ∫(от 0 до 1) x dx = 1.
Вычисляя интеграл, получаем:
A * [x^2/2] (от 0 до 1) = 1.
Подставляем границы интегрирования и упрощаем выражение:
A * (1^2/2 - 0^2/2) = 1.
A * 1/2 = 1.
Умножая обе части уравнения на 2, получаем:
A = 2.
Таким образом, константа A равна 2.
Теперь, для того чтобы найти функцию распределения F(x), мы должны проинтегрировать функцию плотности f(x) по переменной x от минимального значения до x:
F(x) = ∫(от минимального значения до x) f(t) dt.
Раздельно рассмотрим первый и второй промежутки:
Для первого промежутка от 0 до 1, функция распределения будет равна:
F(x) = ∫(от 0 до x) 2t dt.
Интегрируя, получаем:
F(x) = 2 ∫(от 0 до x) t dt = [t^2] (от 0 до x).
Подставляем границы интегрирования и упрощаем выражение:
F(x) = x^2 - 0^2 = x^2.
Для второго промежутка от 1 до 2, функция распределения будет равна:
F(x) = ∫(от 1 до x) 1 dt.
Интегрируя, получаем:
F(x) = ∫(от 1 до x) 1 dt = [t] (от 1 до x).
Подставляем границы интегрирования и упрощаем выражение:
F(x) = x - 1.
Таким образом, функция распределения F(x) будет равна:
F(x) =
{
x^2, если x принадлежит [0,1],
x - 1, если x принадлежит (1,2].
}
Чтобы найти математическое ожидание E(X), мы должны вычислить интеграл ∫(от -∞ до +∞) x f(x) dx.
Так как функция f(x) равна 2x на отрезке [0,1], и 0 на отрезке (1,2], то математическое ожидание E(X) можно вычислить следующим образом:
E(X) = ∫(от 0 до 1) 2x^2 dx + ∫(от 1 до 2) 0 dx.
Интегрируя, получаем:
E(X) = [2x^3/3] (от 0 до 1) + 0.
Подставляем границы интегрирования и упрощаем выражение:
E(X) = (2/3 - 0) = 2/3.
Таким образом, математическое ожидание случайной величины X равно 2/3.
Для нахождения дисперсии V(X), мы должны использовать формулу V(X) = E(X^2) - (E(X))^2.
Для вычисления E(X^2), мы должны вычислить интеграл ∫(от -∞ до +∞) x^2 f(x) dx.
Используя функцию плотности f(x) как в предыдущем пункте, мы имеем:
E(X^2) = ∫(от 0 до 1) 2x^3 dx + ∫(от 1 до 2) 0 dx.
Интегрируя, получаем:
E(X^2) = [2x^4/4] (от 0 до 1) + 0.
Подставляем границы интегрирования и упрощаем выражение:
E(X^2) = (1/2 - 0) = 1/2.
Теперь мы можем вычислить дисперсию V(X):
V(X) = E(X^2) - (E(X))^2.
Подставляем значения E(X) и E(X^2):
V(X) = 1/2 - (2/3)^2 .
Упрощаем выражение:
V(X) = 1/2 - 4/9.
Для удобства, приводим оба слагаемых к общему знаменателю:
V(X) = 9/18 - 8/18.
Вычитаем числители и упрощаем:
V(X) = 1/18.
Таким образом, дисперсия случайной величины X равна 1/18.
Для нахождения среднего квадратического отклонения случайной величины X, мы должны вычислить квадратный корень из дисперсии:
σ(X) = √(V(X)).
Подставляем значение дисперсии:
σ(X) = √(1/18).
Упрощаем выражение:
σ(X) = √(1/3^2 * 2).
Таким образом, среднее квадратическое отклонение случайной величины X составляет √(1/3) или 1/√3 .