Пошаговое объяснение:
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, ∠B=90°, BH - высота, опущенная из угла B к гипотенузе AC.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, значит, S = 1/2·AB·BC=1/2·7·2=7.
Найдем гипотенузу AC по теореме Пифагора:
AC²=AB²+BC², отсюда, AC² = 49+4=53, AC = √53.
Пусть BH=x, AH=y, HC=z.
Составим систему уравнений:
x²+y²=49
x²+z²=4
y+z=√53
Отнимем из первого уравнение второе и получим систему:
y²-z²=45
y+z=√53
y=√53 - z
(√53 -z)²-z²=45
y=√53 - z
53-2√53 z=45
y=√53 - z
2√53 z=8
z = 4/√53
y=√53 - 4/√53=49/√53
x=√(49-y²)=√(49-49²/53)=196/53
BH=196/53.
Даны вершины тетраэдра А(-1; -5; 2), B(-6; 1; -1, )C (3; 6; -3) и Д (-10; 6; 7).
1) Длина ребра АС = √((3-(-1))² + (6-(-5))² + (-3-2)²) =
= √(16 + 121 + 25) = √162 ≈ 12,727922.
2) Площадь грани АСД равна половине модуля векторного произведения (АС х АД).
Вектор АС = (4; 11; -5), вектор АД = (-9; 11; 5).
Решение: S = (1/2) |a × b|
Найдем векторное произведение векторов: c = a × b
a × b =
i j k
ax ay az
bx by bz
=
i j k
4 11 -5
-9 11 5
= i (11·5 - (-5)·11) - j (4·5 - (-5)·(-9)) + k (4·11 - 11·(-9)) =
= i (55 + 55) - j (20 - 45) + k (44 + 99) = {110; 25; 143}.
Найдем модуль вектора:
|c| = √(cx² + cy² + cz²) = √(110² + 25² + 143²) = √(12100 + 625 + 20449) = √33174 = 3√3686.
Найдем площадь треугольника:
S = (1/2)*3√3686 = 3√3686/ 2 ≈ 91.068655 кв.ед.
3) Объем тетраэдра равен (1/6) смешанного произведения векторов (АВ х АС) х АД.
Вектор АВ = (-5; 6; -3).
(АВ х АС) =
i j k
-5 6 -3
4 11 -5
= i (6·(-5) - (-3)·11) - j ((-5)·(-5) - (-3)·4) + k ((-5)·11 - 6·4) =
= i (-30 + 33) - j (25 + 12) + k (-55 - 24) = {3; -37; -79}.
Объем пирамиды
x y z
AB*AC 3 -37 -79
AD -9 11 5
Произведение равно (-27; -407; -395) = -829.
V = (1/6)*829 = 138,1667 куб.ед.
4) Высота тетраэдра ДЕ равна H=3V/Sосн.
Sосн = (1/2)*|ABxAC) = (1/2)*√(3² + (-37)² + (-79)²) =
= √(9 + 1369 + 6241) = √7619 ≈ 43,643442.
Н = 3*(829/6)/(√7619/2) = 829/√7619 ≈ 9,497418.
0
Пошаговое объяснение:
- формула косинус двойного аргумента