ответ: y = 2cosx/2 = - 1*( x-π) + (x - π)³/24 - (x - π)⁵/1920 + ... .
Пошаговое объяснение:
y = 2cosx/2 ; 1) f(π) = 2cosπ/2 = 0 - 1-й член нульовий ;
2) f'(x) = - 2* 1/2 *sinx/2 = - sinx/2 ; f'(π) = - sinπ/2 = - 1 - 2-й член ;
3) f''(x) = ( - sinx/2)' = - 1/2cosx/2 ; f''(x) = - 1/2cosπ/2 = 0 - 3-й член 0 ;
4) f'''(x) =( -1/2cosx/2)' = (-1/2)²sinx/2 ; f'''(π) = (-1/2 )²sinπ/2 = 1/4 - 4-й чл .
5) f ⁽⁴⁾(x) = 1/8 cosx/2 ; f ⁽⁴⁾(π) = 0 - 5-й член розкладу 0 ;
6) f ⁽⁵⁾(x) = - 1/16sinx/2 ; f ⁽⁵⁾(x) = - 1/16 ; . . .
Сначала мы пишем характеристическое уравнение y`-4y`+4y=0, и здесь мы делаем замену y=e^(kx), и после вывода мы получаем уравнение: k^2-4k+4=0, (k-2)^2=0, k1=k2=2, и поэтому частные решения y1= e^(2x) и y2=x*e^(2x), а общее решение соответствующего однородного уравнения-y(p)=C1*e^(2x)+C2*x*e^(2x).). Теперь мы решаем систему для определения C1 и C2:
{{C1`*y1+C2`*y2=0 , {e^(2x)*C1`+x*e^(2x)*C2`=0 , {C2`=-sin(4 x) , {C2=(cos(4 x))/4 + D2
{{C1`*y1`+C2`*y2`=-e^(2x)*sin(4x) {2 e^(2 x)*C1+2x*e^(2x)*C2+e^(2x)*C2=-e^(2x)*sin(4x) {C1`=-x*C2` {C1`=-x*sin(4x)
{C2=(cos(4x))/4+D2
{{C1=-(x*cos(4 x))/4 + (sin(4 x))/16 + D1, где D1 и D2-константы.
Таким образом, общее решение нашего дифференциального уравнения y=(-(x*cos(4x))/4 + (sin(4 x))/16 + D1 )*e^*(2x) + ((cos(4x))/4+D2)*x*e^(2x)