Все просто Допустим противное: \sqrt{2} рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби \frac{m}{n}, где m - целое число, а n — натуральное число. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:\sqrt{2} = \frac{m}{n} \Rightarrow 2 = \frac{m^2}{n^2} \Rightarrow m^2 = 2n^2.Отсюда следует, что m^2 чётно, значит, чётно и m. Пускай m=2r, где r целое. Тогда(2r)^2=2n^2 \Rightarrow n^2=2r^2Следовательно, n^2 чётно, значит, чётно и n. Мы получили, что m и n чётны, что противоречит несократимости дроби \frac{m}{n}. Значит, исходное предположение было неверным, и \sqrt{2} — иррациональное число.
Большую внутреннюю энергию будет иметь вода при температуре 0, чем кусок льда при той же температуре. Этому можно дать несколько объяснений: 1) Вода - жидкость, лёд твёрдое вещество. По свойству жидкостей, молекулы, из которых они состоят, находятся в непрерывном движении, а молекулы твёрдых тел лишь колеблются около своего положения, следовательно энергия молекул (а, следовательно, и внутренняя энергия) воды больше энергии молекул льда и его внутренней энергии. 2) Чтобы лёд температурой 0 превратить в воду той же температуры, нужно сообщить ему энергию. Следовательно вода будет обладать большей энергией, чем лёд.
Допустим противное: \sqrt{2} рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби \frac{m}{n}, где m - целое число, а n — натуральное число. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:\sqrt{2} = \frac{m}{n} \Rightarrow 2 = \frac{m^2}{n^2} \Rightarrow m^2 = 2n^2.Отсюда следует, что m^2 чётно, значит, чётно и m. Пускай m=2r, где r целое. Тогда(2r)^2=2n^2 \Rightarrow n^2=2r^2Следовательно, n^2 чётно, значит, чётно и n. Мы получили, что m и n чётны, что противоречит несократимости дроби \frac{m}{n}. Значит, исходное предположение было неверным, и \sqrt{2} — иррациональное число.