К примеру,
2 + 4 + 5 + 30 + 1976
Практически очевидно, что одно из чисел четырехзначное:
В противном случае есть не более 2 трехзначных чисел (иначе будет задействовано не менее 9 цифр на 3 числа и для оставшихся 2 чисел останется лишь 1 цифра).
Сумма этих 2 чисел меньше, чем 987 + 876 = 1843
(также заметим, что каждое из этих чисел больше, чем 5 * 99, то есть заменять в сумме какое-либо из трехзначных чисел на двузначное или однозначное нет смысла - выйдет меньше).
Из оставшихся 3 чисел не более, чем 1 двузначное (осталось 4 цифры на 3 числа), а значит сумма всех 5 чисел меньше, чем 1843+99+9+9=1960
А это меньше, чем 2017
Значит есть четырехзначное число. Это число начинается с 1, так как в ином случае оно не меньше, чем 2013, а сумма остальных чисел не меньше, чем 1 + 2 + 3 + 4 = 10, то есть сумма всех 5 чисел не меньше, чем 2013 + 10 = 2023 > 2017
Итак, мы знаем, что одно из чисел четырехзначное и начинается с 1. На 4 остальных числа остается 6 цифр. То есть среди них не более 1 трехзначного.
Если среди них есть одно трехзначное число, то использованы все цифры.
Получим 1abc+def+g+h+j=2017
Сумма всех цифр с левой стороны равна 0 + 1 + 2 + 3 + ... + 9 = 45 (так как в левой части содержатся все 10 цифр).
45 делится на 9, а значит сумма слева делится на 9, а 2017 не делится на 9. Значит среди этих 5 чисел нет трехзначных.
Аналогично последнему можно показать, что среди этих чисел нет двух двузначных.
Если среди этих 5 чисел вовсе нет двузначных, то сумма не превышает
1987 + 6 + 5 + 4 + 3 = 2005, что также не подходит. Остается только:
1 четырехзначное, 1 двухзначное, 3 однозначных.
Вторая цифра четырехзначного числа - это 9 (иначе сумма не превосходит 1896 + 75 + 4 + 3 + 2 = 1981)
То есть, 19bc+de+g+h+j=2017 или bc+de+g+h+j=117.
117 делится на 9. Если не использована цифра q, тогда сумма цифр слева равна 45-1-9-q = 35-q, что делится на 9, то есть q = 8 (35-q = 27 иначе 35-q ≤ 18, а значит q ≥ 27 - не цифра)
Осталось распределить цифры 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7 по b, c, d, e, g, h, j.
Заметим, что от перестановки цифр c, e, g, h, j сумма не меняется, как и при перестановке цифр b и d, то есть просто надо выбрать пару цифр на места b и d, а затем произвольным образом распределить оставшиеся (с условием, что d, g, h, j не равны 0).
70 + 60 > 117
70 + 50 > 117
70 + 40 + 6 + 5 + 3 + 2 + 0 > 117
70 + 30 + 6 + 5 + 4 + 2 + 0 = 117
70 + 20 + 6 + 5 + 4 + 3 + 0 < 117
60 + 50 + 7 + 4 + 3 + 2 + 0 > 117
60 + 40 + 7 + 5 + 3 + 2 + 0 = 117
Остальные аналогичные суммы будут < 117
Итог: два подходящих разбиения на 2 набора. Вот все возможные различные представления из условия (в которых числа поставлены
по убыванию) (Всего 32):
1976 + 30 + 5 + 4 + 2
1975 + 30 + 6 + 4 + 2
1974 + 30 + 6 + 5 + 2
1972 + 30 + 6 + 5 + 4
1970 + 36 + 5 + 4 + 2
1970 + 35 + 6 + 4 + 2
1970 + 34 + 6 + 5 + 2
1970 + 32 + 6 + 5 + 4
1936 + 70 + 5 + 4 + 2
1935 + 70 + 6 + 4 + 2
1934 + 70 + 6 + 5 + 2
1932 + 70 + 6 + 5 + 4
1930 + 76 + 5 + 4 + 2
1930 + 75 + 6 + 4 + 2
1930 + 74 + 6 + 5 + 2
1930 + 72 + 6 + 5 + 4
1967 + 40 + 5 + 3 + 2
1965 + 40 + 7 + 3 + 2
1963 + 40 + 7 + 5 + 2
1962 + 40 + 7 + 5 + 3
1960 + 47 + 5 + 3 + 2
1960 + 45 + 7 + 3 + 2
1960 + 43 + 7 + 5 + 2
1960 + 42 + 7 + 5 + 3
1947 + 60 + 5 + 3 + 2
1945 + 60 + 7 + 3 + 2
1943 + 60 + 7 + 5 + 2
1942 + 60 + 7 + 5 + 3
1940 + 67 + 5 + 3 + 2
1940 + 65 + 7 + 3 + 2
1940 + 63 + 7 + 5 + 2
1940 + 62 + 7 + 5 + 3
