Question

Найти общее решение дифференциального уравнения a(x)y' + b(x)y = f(x) и частное решение, удовлетворяющее начальному условию y = y0 при x = x0.

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Сначала разделим левую и правую часть уравнения на x, получим:

Решим сначала однородное уравнение, вида:

Это уравнение с разделяющимися переменными, получаем:

Берем интеграл от обоих частей получаем: 

Дальше методом вариации свободной постоянной ищем частное решение неоднородного уравнения:

Представляем C как функцию от х, т.е C=C(x) и подставляем выражение    в исходное уравнение. Получаем:

Сокращаем подобные и прочее, получаем:

Подставляем получившееся значение C(x) в выражение     и получаем частное решение  

В итоге общее решение неоднородного уравнения это сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Т.е.

Все, уравнение решено. Теперь решаем задачу Коши:

Т.к.  

то приходим к уравнению  

Все, нашли С, теперь пишем решение задачи Коши:

ответ: Общее решение дифференциального уравнения:

Частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющиего начальному условию  :

Подробнее - на -