А). Уравнение стороны AB
Y=KX + b
К равно ∆y/∆x=(2 -(-6))/(- 4 - 8)=8 / - 12=- 2/3
В=аy-k*ax=2 - (-2/3)*(-4)=2-8/3=-2/3
Составляем уравнение
y =-2/3 x - 2/3
Б). Уравнение высоты CH
K2=1/k=-1 / - 2/3=3/2=1,5
B=cу-k2*cx=6 - 1,5*2= 6- 3= 3
Составляем уравнение
У=1,5*х-3
В). М = (b + с)/2
Вычисляем Му и Мх
Записываем М(х;у)
Уравнение прямой по пункту 1
Составляем уравнение
y =KX + b
Г). Точка пересечения двух прямых, решение системы из двух уравнений
Записываем уравнение прямых следующим образом
1). Уравнение высоты
У=1,5х-3
2). Уравнение медианы
Решаем ... И получаем NX и Ny
д) Параллельно АВ - с тем же наклоном, как и у прямой АВ.
к(АВ) = - 2/3- (пункт 1) - наклон
b = (для точки С) = 2- (-2/3)*6 =2+4=6 - сдвиг
Составляем уравнение
y - (2/3)*x+ 6
е) Расстояние между точками - по теореме Пифагора.
Вычисляем длину высоты СН - расстояние до прямой АВ.
Существуют такие формы записи уравнения прямой в пространстве:
1) {A1x+B1y+C1z+D1=0(P1)A2x+B2y+C2z+D2=0(P2)− общее уравнение прямой L в пространстве, как линии пересечения двух плоскостей P1 и P2.
pryamayavprostr1
2) x−x0m=y−y0n=z−z0p− каноническое уравнение прямой L, которая проходит через точку M(x0,y0,z0) параллельно вектору S⎯⎯⎯=(m,n,p). Вектор S⎯⎯⎯ является направляющим вектором прямой L.
pryamayavprostr2
3) x−x1x2−x1=y−y1y2−y1=z−z1z2−z1− уравнение прямой, которая проходит через две точки A(x1,y1,z1) и B(x2,y2,z2).
4) Приравнивая каждую из частей канонического уравнения 2 к прараметру t, получаем параметрическое уравнение прямой:
⎧⎩⎨⎪⎪x=x0+mty=y0+ntz=z0+pt
Расположение двух прямых в пространстве.
Пусть L1: x−x1m1=y−y1n1=z−z1p1 S⎯⎯⎯1=(m1,n1,p1);
L2: x−x2m2=y−y2n2=z−z2p2, S⎯⎯⎯2=(m2,n2,p2).
Условие параллельности двух прямых: Прямые L1 и L2 параллельны тогда и только тогда, когда S⎯⎯⎯1∥S⎯⎯⎯2⇔ m1m2=n1n2=p1p2.
Условие перпендикулярности двух прямых: L1⊥L2⇔ S⎯⎯⎯1⊥S⎯⎯⎯2⇔ m1⋅m2+n1⋅n2+p1⋅p2=0.
Угол между прямыми:
cos(L1,L2)ˆ= S⎯⎯⎯1⋅S⎯⎯⎯2|S⎯⎯⎯1|⋅|S⎯⎯⎯2|=m1⋅m2+n1⋅n2+p1⋅p2m21+n21+p21√⋅m22+n22+p22√.
ugol2
Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на данную прямую.
Пусть прямая L задана уравнением x−x0m=y−y0n=z−z0p, следовательно S⎯⎯⎯=(m,n,p). Пусть также M2=(x2,y2,z2)− произвольная точка, принадлежащая прямой L. Тогда расстояние от точки M1=(x1,y1,z1) до прямой L можно найти по формуле:
d(M1,L)=|[M1M2⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯,S⎯⎯⎯]||S⎯⎯⎯|.
dist
Примеры.
2.198. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M0(2,0,−3) параллельно:
а) вектору q(2,−3,5);
б) прямой x−15=y+22=z+1−1;
в) оси OX;
д) прямой {3x−y+2z−7=0,x+3y−2z−3=0;
е) прямой x=−2+t,y=2t,z=1−12t.
Решение.
а) Воспользуемся формулой (2) уравнения прямой в пространстве:
x−x0m=y−y0n=z−z0p− каноническое уравнение прямой L, которая проходит через точку M(x0,y0,z0) параллельно вектору S⎯⎯⎯=(m,n,p).
По условию M0(2,0,−3) и S⎯⎯⎯=q(2,−3,5).
Таким образом, x−22=y−0−3=z−(−3)5⇒x−22=y−3=z+35.
ответ: x−22=y−3=z+35.
б) Прямая, параллельная заданной прямой, должна быть параллельна ее направляющему вектору. Направляющий вектор прямой x−15=y+22=z+1−1 имеет координаты S⎯⎯⎯(5,2,−1). Далее, находим уравнение прямой проходящей точку M0(2,0,−3) параллельно вектору S⎯⎯⎯(5,2,−1) как и в пункте а):
x−25=y−02=z−(−3)−1⇒x−25=y2=z+3−1.
ответ: x−25=y2=z+3−1.
в) ось OX имеет направляющий вектор i=(1,0,0). Таким образом, ищем уравнение прямой проходящей точку M0(2,0,−3) параллельно вектору i(1,0,0):
x−21=y−00=z−(−3)0⇒x−21=y0=z+30.
ответ: x−21=y0=z+30.
д) Прямая, заданная как пересечение двух плоскостей перпендикулярна нормалям обеих плоскостей, поэтому Направляющий вектор прямой
{3x−y+2z−7=0,x+3y−2z−3=0; можно найти как векторное произведение нормалей заданных плоскостей.
Для плоскости P1: 3x−y+2z−7=0 нормальный вектор имеет координаты N1(3,−1,2);
для плосости P2: x+3y−2z−3, нормальный вектор имеет координаты N2(1,3,−2).
Находим векторное произведение:
[N1,N2]=∣∣∣∣∣i31j−13k2−2∣∣∣∣∣=i(2−6)−j(−6−2)+k(9+1)=−4i+8j+10k.
Таким образом, направляющий вектор прямой {3x−y+2z−7=0,x+3y−2z−3=0; имеет координаты S⎯⎯⎯(−4,8,10).
Далее нам необходимо найти уравнение прямой проходящей точку M0(2,0,−3) параллельно вектору S⎯⎯⎯(−4,8,10):
x−2−4=y−08=z−(−3)10⇒x−2−4=y8=z+310.
ответ: x−2−4=y8=z+310.
{jumi[*4]}
е) Найдем направляющий вектор прямой x=−2+t,y=2t,z=1−12t. Для этого запишем уравнение этой прямой в каноническом виде:
⎧⎩⎨⎪⎪x=−2+t,y=2t,z=1−12t⇒ ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪t=x+2,t=y2,t=z−1−12 ⇒x+21=y2=z−1−12.
Отсюда находим направляющий вектор S⎯⎯⎯(1,2,−12). Умножим координаты направляющего вектора на 2 (чтобы избавиться от дроби): S⎯⎯⎯1(2,4,−1).
Далее нам необходимо найти уравнение прямой проходящей точку M0(2,0,−3) параллельно вектору S⎯⎯⎯(2,4,−1):
x−22=y−04=z−(−3)−1⇒x−22=y4=z+3−1.
ответ: x−22=y4=z+3−1.
2.199(a). Написать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M1(1,−2,1) и M2(3,1,−1).
Решение.
Воспользуемся формулой (3) уравнения прямой в пространстве:
x−x1x2−x1=y−y1y2−y1=z−z1z2−z1− уравнение прямой, которая проходит через две точки A(x1,y1,z1) и B(x2,y2,z2).
Подставляем заданные точки:
x−13−1=y+21+2=z−1−1−1⇒ x−12=y+23=z−1−2.
ответ: x−12=y+23=z−1−2.
2.204. Найти расстояние между параллельными прямыми
x−23=y+14=z2 и x−73=y−14=z−32.
Решение.
Расстояние между параллельными прямыми L1 и L2 равно расстоянию от произвольной точки прямой L1 до прямой L2. Следовательно, его можно найти по формуле
d(L1,L2)=d(M1,L2)=|[M1M2⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯,S⎯⎯⎯]||S⎯⎯⎯|,
где M1− произвольная точка прямой L1, M2−произвольная точка прямой L2, S⎯⎯⎯− направляющий вектор прямой L2.
Из канонических уравнений прямых берем точки M1=(2,−1,0)∈L1, M2=(7,1,3)∈L2, $\overline S=(3, 4, 2).$
Отсюда находим M1M2⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯=(7−2,1−(−1),3−0)=(5,2,3);
Пошаговое объяснение:
1)Найдите число,если 20 % его трети составляют число,45% которого равны 8,19
х- искомое число
0,2x/3=8,19/0,45
x=(8,19*3)/(0,45*0,2)=273
2)Бабушка на даче собрала вишни.Из 3/4 всей вишни сварила варенье,треть оставшейся засушили,а остальные 4 кг съели.Сколько кг вишни собрала бабушка?
х собрала бабушка
х3/4=3х/4 на варенье
1-3/4=1/4
х(1/4)*1/3=х/12 засушили
х-3х/4-х/12=4
(12х-9х-х)/12=4
2x=24; x=24/2=12 кг
3)Туристы отправились в трёхдневный поход.В первый день они всего пути,во второй день-0,2 оставшегося после первого дня пути, а в третий день они остальные 14,4 км.Сколько км туристы за эти три дня?
весь путь х
0,4х -в первый день
(х-0,4х)*0,2=0,6х*0,2=0,12х во второй день
x-0,4x-0,12x=14,4
0,48x=14,4
x= 14,4/0,48=30 км
4)После реконструкции станка рабочий стал изготовлять на нём за смену 252 детали вместо 240. Какую часть станков он изготовил сейчас,чем раньше?
сформулируем вопрос так: какую часть деталей изготавливает рабочий сейчас по сравнению с первоначальным количеством?
252/240=1,05