Белоснежка привела семерых гномов на праздничный вечер. При входе гномы вытянули наугад билеты для игры в лотерею (Номера билетов от 1 до 100). При этом Белоснежка сказала: «Я уверена, что хотя бы у двоих из вас разность билетов делится на 6». Права ли она?
Нужен ответ
Для начала давайте представим, что у нас есть два билета с номерами a и b, и мы хотим проверить, кратна ли разность между ними числу 6. Если разность a - b делится на 6, то это означает, что a - b = 6n, где n - целое число. Это можно переписать в виде a = b + 6n.
Теперь давайте предположим, что Белоснежка была права и мы можем найти два билета у гномов, у которых разность номеров делится на 6. Предположим, что первый гном имеет билет с номером а, и второй гном имеет билет с номером b.
Если мы можем выбрать такие два билета, то это означает, что a = b + 6n, где n - целое число.
Теперь давайте посмотрим на группу гномов и их билеты. Если мы удалим 6n от номера первого билета а, мы получим новый номер б, который должен быть также билетом одного из гномов. То есть b = a - 6n.
Теперь мы знаем, что если у нас есть два билета, разность номеров которых делится на 6, то один из этих номеров будет являться билетом другого гнома.
Но давайте посмотрим на общее количество билетов, которые у нас есть. У нас есть 100 билетов с номерами от 1 до 100, а значит у нас есть 100 гномов. Если мы условимся, что каждый билет принадлежит ровно одному гному, то для достижения условия "хотя бы у двоих из вас разность билетов делится на 6" нам нужно найти хотя бы двух гномов, билеты которых имеют номера, разность которых делится на 6.
Теперь давайте рассмотрим возможные случаи выбора номеров. Например, если первый гном выбрал билет с номером 1, то нет другого гнома, у которого номер билета отличался бы на 6. То же самое верно и для следующих шести случаев, где первый гном выбирает номер 2, 3, 4, 5, 6 или 100. В каждом из этих случаев нет другого гнома, у которого номер билета отличался бы на 6.
Теперь рассмотрим случай, когда первый гном выбирает билет с номером 7. Если мы вычитаем 6 из номера 7, мы получаем билет с номером 1, который принадлежит первому гному. Это значит, что условие "разность билетов делится на 6" выполняется для первого гнома и его себя самого. Но здесь нет другого гнома, у которого номер билета отличался бы на 6.
Мы можем продолжать рассматривать все возможные случаи с первыми числами от 8 до 94, но мы всегда придем к тому же выводу - для каждого первого числа будет существовать только одно, соответствующее ему, число, разность которых делится на 6.
Теперь рассмотрим случай, когда первый гном выбирает билет с номером 95. Вычитая из 95 число 6, мы получим номер 89. Но номера 89 и 95 не существует, так как наш диапазон билетов идет только до 100.
Итак, мы рассмотрели все возможные случаи и пришли к выводу, что невозможно выбрать два билета у гномов так, чтобы разность их номеров делилась на 6. Следовательно, Белоснежка ошиблась, и она была неправа.