Question

с Дифф.ур. Найдите решение уравнения y'=(2-y)tgt, удовлетворяющее начальному условию y(0)=10. В ответе укажите его значение при \(t=\pi/3 \)

Answer 1

ответ:  y(t) = 10cos(t),  y(π/3) = 5

Пошаговое объяснение:

Найдите решение уравнения y'=(2-y)tgt, удовлетворяющее начальному условию y(0)=10. В ответе укажите его значение при t=pi/3

Данное дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными

                                        y' = (2 - y)tgt

                                          $\frac{y'}{2-y}=tg(t)$

                                         $-\frac{y'}{y-2}=tg(t)$

                                        $\frac{dy}{y-2}=-\frac{sin(t)}{cos(t)} dt$

Интегрируем обе части уравнения

                                      $\int\limits{\frac{dy}{y-2}}} \, dt =-\int\limits{\frac{sin(t)}{cos(t)}} \, dt$

                                     $\int\limits{\frac{dy}{y-2}}} \, dt =\int\limits{\frac{1}{cos(t)}} \, dcos(t)$

                                     lny = lncos(t) + lnC

                                        y(t) = C·cos(t)

Находим константу С  при начальном условии y(0)=10

                        y(0) = C·cos(0) = C = 10

Поэтому искомую функцию можно записать как

                                    y(t) = 10cos(t)

Найдем ее значение при t = π/3

y(π/3) = 10cos(π/3) = 10·(1/2) = 5