Question

Необходимо общее решение дифференциального уравнения
xyy'=x^2-y^2

Answer 1

Для решения данного дифференциального уравнения, мы можем использовать метод разделяющихся переменных.

Шаг 1: Перепишем данное уравнение в виде:

xyy' + y^2 = x^2

Шаг 2: Разделим переменные, переместив все члены, содержащие y, на одну сторону уравнения, а все члены, содержащие x, на другую сторону:

xyy' - y^2 = x^2

Шаг 3: Вынесем y за скобки:

y(xy' - y) = x^2

Шаг 4: Разделим обе стороны уравнения на (xy-y):

y / (xy-y) = x^2 / (xy-y)

Шаг 5: Упростим выражение слева, разделив числитель и знаменатель на y:

1 / (x - 1) = x(y - 1)

Шаг 6: Разделим обе стороны уравнения на (x - 1):

1 / (x - 1) / (x - 1) = x(y - 1) / (x - 1)

1 / (x - 1)^2 = xy / (x - 1) - y / (x - 1)

Шаг 7: Упростим выражение справа, объединив дроби:

1 / (x - 1)^2 = (xy - y) / (x - 1)

Шаг 8: Упростим дробь справа, выразив общий множитель y:

1 / (x - 1)^2 = y(x - 1) / (x - 1)

1 / (x - 1)^2 = y

Шаг 9: Перепишем полученное уравнение в форме, более удобной для понимания:

y = 1 / (x - 1)^2

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения можно представить в виде функции:

y(x) = 1 / (x - 1)^2

В конце каждого шага я объяснил, как я получил следующий шаг, чтобы ответ был понятен школьнику.