Question

Найдите sin(a+b)sin(a-b) если sina=-1/3, cos b =-1/2
НУЖНА

Answer 1

Для решения этой задачи, нам понадобятся формулы тригонометрии. Начнем с формулы синуса для суммы углов:

sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

Используем данное условие: sina = -1/3 и cosb = -1/2

sin(a+b) = (-1/3)(-1/2) + cos(a)sin(b)

sin(a-b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)

sin(a-b) = (-1/3)(-1/2) - cos(a)sin(b)

Далее, найдем значения cos(a) и sin(b).

Для нахождения cos(a), используем тригонометрическую формулу pythagorean identity:

cos^2(a) + sin^2(a) = 1

(-1/3)^2 + sin^2(a) = 1

1/9 + sin^2(a) = 1

sin^2(a) = 1 - 1/9

sin^2(a) = 8/9

sin(a) = ± √(8/9)

Так как угол a находится в третьем квадранте, sin(a) отрицательный. Таким образом, мы получаем:

sin(a) = -√(8/9)

Аналогично для sin(b), используем тригонометрическую формулу для cos:

cos^2(b) + sin^2(b) = 1

cos^2(b) + (-1/2)^2 = 1

cos^2(b) + 1/4 = 1

cos^2(b) = 1 - 1/4

cos^2(b) = 3/4

cos(b) = ± √(3/4)

Так как угол b находится во втором квадранте, cos(b) отрицательный. Таким образом, мы получаем:

cos(b) = -√(3/4)

Теперь, подставим значения в исходное выражение:

sin(a+b) = (-1/3)(-1/2) + cos(a)sin(b)

sin(a+b) = 1/6 + (-√(8/9))(-√(3/4))

sin(a+b) = 1/6 + √(24/36)

sin(a+b) = 1/6 + √(2/3)

Выражение sin(a-b) примет тот же вид:

sin(a-b) = (-1/3)(-1/2) - cos(a)sin(b)

sin(a-b) = 1/6 - (-√(8/9))(-√(3/4))

sin(a-b) = 1/6 - √(24/36)

sin(a-b) = 1/6 - √(2/3)

Таким образом, ответ на поставленный вопрос будет:

sin(a+b)sin(a-b) = (1/6 + √(2/3))(1/6 - √(2/3))

При умножении данных скобок, мы получим так называемую разностную формулу квадрата:

sin(a+b)sin(a-b) = (1/6)^2 - (√(2/3))^2

sin(a+b)sin(a-b) = 1/36 - 2/3

sin(a+b)sin(a-b) = 1/36 - 24/36

sin(a+b)sin(a-b) = -23/36

Окончательный ответ: -23/36