Question

100!
Как доказать условие перпендикулярности прямых?
Т. е, то что k1*k2=-1?
Распишите, как можно более подробно.
​

Answer 1

Пусть первая прямая имеет угловой коэффициент $k_1=\mathrm{tg}\ \alpha$, а вторая прямая имеет угловой коэффициент $k_2=\mathrm{tg}\ \beta$, где $\alpha$ и $\beta$ - соответствующие углы наклона прямых к положительному направлению оси $Ox$.

Рассмотрим угол между этими прямыми. Пусть $\alpha \beta$, тогда он равен $\alpha -\beta$. Найдем соотношение между этим углом и угловыми коэффициентами прямых. Используем формулу тангенса разности:

$\mathrm{tg}(\alpha -\beta)=\dfrac{\mathrm{tg}\ \alpha-\mathrm{tg}\ \beta }{1+\mathrm{tg}\ \alpha\ \mathrm{tg}\ \beta } =\dfrac{k_1-k_2 }{1+k_1k_2 }$

Так как мы хотим получить условие перпендикулярности двух прямых, то считаем угол между прямыми $\alpha -\beta=90^\circ$.

$\mathrm{tg}90^\circ=\dfrac{k_1-k_2 }{1+k_1k_2 }$

Тангенс 90 градусов не определен, но можно сказать что он стремится к бесконечности к стремлении аргумента к 90 градусам.

$\dfrac{k_1-k_2 }{1+k_1k_2 }\rightarrow \infty$

Но если дробь стремится к бесконечности, то знаменатель стремится к нулю.

$1+k_1k_2 \rightarrow 0$

В пределе знаменатель равен нулю. Тогда получим:

$1+k_1k_2 =0$

$\boxed{k_1k_2 =-1}$

Можно выразить один из коэффициентов:

$\boxed{k_1 =-\dfrac{1}{k_2} }$

Тогда формулируется легкое правило: Две прямые перпендикулярны, когда их угловые коэффициенты являются противоположными обратными числами.