Вычислить:
1.sin42 30'cos47 30' + sin47 30' cos42 30'
2.cos 4π/9 cos5π/18 + sin4π/9 sin5π/18
3.sin 13π/6 - cos11π/6 + ctg11π/4
Преобразовать в произведение:
4.sin π/8 - sin π/4
5,cos40 - 20
Найти:
6.sin2a, если 90 < a < 180, sin a = 5/13
У выражение
7.(cos^2a/2sin^2a-1)+(sin^2a/2cos^2a-1)
8.sin 3a+2cos 2a-sin a/cos a+2 sin 2a-cos 3a
sin(42° 30') = sin(30° + 12° 30') = sin30°cos12° 30' + cos30°sin12° 30' = (1/2)(√3/2) + (√3/2)(1/2) = √3/4 + √3/4 = √3/2
cos(47° 30') = cos(45° + 2° 30') = cos45°cos2° 30' - sin45°sin2° 30' = (√2/2)(√3/2) - (√2/2)(1/2) = √6/4 - √2/4 = (√6 - √2)/4
Подставляем значения в исходное выражение:
sin42° 30'cos47° 30' + sin47° 30'cos42° 30' = (√3/2)((√6 - √2)/4) + (√6/4)((√3 - 1)/2)
= (√3(√6 - √2) + √6(√3 - 1))/8
= (√18 - √6 + 3√6 - √6)/8
= (2√6 - 2√6 + 3√6 - √6)/8
= 2√6/8
= √6/4
Ответ: √6/4
2. Решение второго выражения:
cos(4π/9) = cos(4π/9 + 5π/18) = cos(8π/18 + 5π/18) = cos(13π/18)
sin(4π/9) = sin(4π/9 + 5π/18) = sin(8π/18 + 5π/18) = sin(13π/18)
Подставляем значения в исходное выражение:
cos(4π/9)cos(5π/18) + sin(4π/9)sin(5π/18) = cos(13π/18)cos(13π/18) + sin(13π/18)sin(13π/18)
= cos²(13π/18) + sin²(13π/18)
По тригонометрическому тождеству cos²θ + sin²θ = 1 (квадрат синуса плюс квадрат косинуса равен 1), получаем:
= 1
Ответ: 1
3. Решение третьего выражения:
sin(13π/6) = sin(π + π/6) = -sin(π/6) = -1/2
cos(11π/6) = cos(π + π/6) = -cos(π/6) = -√3/2
ctg(11π/4) = 1/tan(11π/4) = 1/tan(-π/4) = 1
Подставляем значения в исходное выражение:
sin(13π/6) - cos(11π/6) + ctg(11π/4) = -1/2 - (-√3/2) + 1
= -1/2 + √3/2 + 1
= √3/2 + 1/2
Ответ: √3/2 + 1/2
4. Преобразование четвертого выражения:
sin(π/8) = sin(π/4 - π/8) = sin(3π/8)
sin(π/4) = √2/2
Подставляем значения в исходное выражение:
sin(π/8) - sin(π/4) = sin(3π/8) - √2/2
Ответ: sin(3π/8) - √2/2
5. Преобразование пятого выражения:
cos(40°) = cos(45° - 5°) = cos45°cos5° + sin45°sin5° = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6 + √2)/4
20 = 20/1
Подставляем значения в исходное выражение:
cos(40°) - 20 = (√6 + √2)/4 - 20/1
Ответ: (√6 + √2)/4 - 20/1
6. Решение шестого выражения:
sin(2a) = 2sin(a)cos(a)
sin(a) = 5/13, где 90° < a < 180°
cos(a) = √(1 - sin²(a)) = √(1 - (5/13)²) = √(1 - 25/169) = √(144/169) = 12/13
Подставляем значения в исходное выражение:
sin(2a) = 2(5/13)(12/13) = 120/169
Ответ: 120/169
7. Решение седьмого выражения:
(cos²(a/2)/sin²(a) - 1) + (sin²(a/2)/cos²(a) - 1)
cos²(a/2) = (1 + cos(a))/2
sin²(a/2) = (1 - cos(a))/2
Подставляем значения в исходное выражение:
((1 + cos(a))/2sin²(a) - 1) + ((1 - cos(a))/2cos²(a) - 1)
= ((1 + cos(a))/(2(1 - cos(a))/2) - 1) + ((1 - cos(a))/(2(1 + cos(a))/2) - 1)
= (1 + cos(a))/(1 - cos(a)) - 1 + (1 - cos(a))/(1 + cos(a)) - 1
= (1 + cos(a))/(1 - cos(a)) + (1 - cos(a))/(1 + cos(a)) - 2
= (1 + cos(a))(1 + cos(a))/(1 - cos²(a)) + (1 - cos(a))(1 - cos(a))/(1 - cos²(a)) - 2
= (1 + cos(a))²/(sin²(a)) + (1 - cos(a))²/(sin²(a)) - 2
= (1 + 2cos(a) + cos²(a))/(sin²(a)) + (1 - 2cos(a) + cos²(a))/(sin²(a)) - 2
= (2 + 2cos(a))/(sin²(a)) - 2
Ответ: (2 + 2cos(a))/(sin²(a)) - 2
8. Решение восьмого выражения:
sin(3a) = 3sin(a) - 4sin³(a)
cos(2a) = 1 - 2sin²(a)
sin(2a) = 2sin(a)cos(a)
Подставляем значения в исходное выражение:
sin(3a) + 2cos(2a) - sin(a)/(cos(a) + 2sin(2a) - cos(3a))
= (3sin(a) - 4sin³(a)) + 2(1 - 2sin²(a)) - sin(a)/(cos(a) + 2(2sin(a)cos(a)) - (4cos³(a) - 3cos(a)))
= 3sin(a) - 4sin³(a) + 2 - 4sin²(a) - sin(a)/(cos(a) + 4sin(a)cos(a) - 4cos³(a) + 3cos(a))
= 3sin(a) - 4sin³(a) + 2 - 4sin²(a) - sin(a)/(4sin(a)cos(a) + 3(cos(a) - cos³(a)))
Ответ: 3sin(a) - 4sin³(a) + 2 - 4sin²(a) - sin(a)/(4sin(a)cos(a) + 3(cos(a) - cos³(a)))