Question

Найдите все а, при каждом из которых уравнение.. 24

Answer 1

$a=0,\quad x\in\{-1,0,1\}\\a=2,\quad x\in\left\{-\dfrac1{\sqrt3},0,\dfrac1{\sqrt3}\right\}$

Пошаговое объяснение:

Заметим, что если x - корень уравнения, то (-x) - тоже корень. Чтобы корней получилось нечетное число, один из корней должен быть нулем. Подставляем x = 0:

$a^3-a^2-2a=0\\(a+1)a(a-2)=0\\a\in\{-1,0,2\}$

Проверяем, удовлетворяют ли условию найденные a. Для этого достаточно проверить, что при подстановке найденных a уравнение имеет ровно один положительный корень.

1) a = -1:

$x^4-x^2+\dfrac x{3\sqrt3}=0\\x^3-x=-\dfrac1{3\sqrt3}$

Рассмотрим функцию $f(x)=x^3-x$. Её производная $f'(x)=3x^2-1$ принимает неотрицательные значения при $x\geqslant 1/\sqrt3$ и неположительные значения при $0<x\leqslant 1/\sqrt3$. Значит, график функции f(x) при x > 0 выглядит примерно так, как изображено на рисунке: при x, близких к 0, значение близко к 0, затем убывание, в точке $x=1/\sqrt3$ принимается минимальное значение $-2/3\sqrt3$, потом неограниченное возрастание.

$0<-\dfrac1{3\sqrt3}<-\dfrac2{3\sqrt3}$

Значит, у уравнения $f(x)=-1/3\sqrt3$ есть два положительных корня, не подходит.

2) a = 0: аналогично, можно свести к уравнению f(x) = 0, у него один положительный корень x = 1. Подходит!

3) a = 2: аналогично, сводится к уравнению $f(x)=-2/3\sqrt3$. У этого уравнения тоже только один положительный корень $x=1/\sqrt3$.