Question

Какая пара является решением системы уравнений
х2+ у2 = 25,
2х - у = 8?
a) (3; - 2); b) (- 3; 2); c) (- 3; 6); d) (-4; - 4).

Answer 1

Для определения решения системы уравнений мы должны найти значения x и y, которые удовлетворяют обоим уравнениям одновременно.

Сначала давайте попробуем решить второе уравнение на x:

2х - у = 8

Для этого приведем уравнение к виду, где x выражен через y:

2х = у + 8
х = (у + 8)/2

Теперь мы можем подставить это выражение для x в первое уравнение:

х2 + у2 = 25

((у + 8)/2)2 + у2 = 25

Simplify:
(у + 8)2/4 + у2 = 25

Упростим:

(у2 + 16у + 64)/4 + у2 = 25

Распределим:

(у2 + 16у + 64 + 4у2)/4 = 25

Упростим:

(5у2 + 16у + 64)/4 = 25

Умножим обе части на 4:

5у2 + 16у + 64 = 100

Перенесем 100 на другую сторону:

5у2 + 16у - 36 = 0

Теперь давайте воспользуемся квадратным уравнением, чтобы решить это уравнение. Мы можем использовать формулу дискриминанта:

Дискриминант (D) = b2 - 4ac

где a = 5, b = 16 и c = -36.

D = 162 - 4*5*(-36)
= 256 + 720
= 976

Поскольку D положительное, у нас будет два корня для этого квадратного уравнения. Чтобы найти значения y, мы можем использовать формулу:

y = (-b ± √D) / (2a)

y = (-16 ± √976) / (2*5)

y = (-16 ± 31.24) / 10

Теперь давайте рассмотрим каждый вариант и проверим, соответствует ли пара (x, y) ему:

a) (3, -2):

Проверим это, подставив значения x = 3 и y = -2 в оба уравнения:

3² + (-2)² = 9 + 4 = 13
2*3 - (-2) = 6 + 2 = 8

Оба уравнения не выполняются, поэтому эта пара не является решением системы.

b) (-3, 2):

Проверим это, подставив значения x = -3 и y = 2 в оба уравнения:

(-3)² + 2² = 9 + 4 = 13
2*(-3) - 2 = -6 - 2 = -8

Оба уравнения не выполняются, поэтому эта пара не является решением системы.

c) (-3, 6):

Проверим это, подставив значения x = -3 и y = 6 в оба уравнения:

(-3)² + 6² = 9 + 36 = 45
2*(-3) - 6 = -6 - 6 = -12

Оба уравнения не выполняются, поэтому эта пара не является решением системы.

d) (-4, -4):

Проверим это, подставив значения x = -4 и y = -4 в оба уравнения:

(-4)² + (-4)² = 16 + 16 = 32
2*(-4) - (-4) = -8 + 4 = -4

Финальные значения x и y равны -4 и -4 соответственно, и оба уравнения выполняются:

32 = 32
-4 = -4

Поэтому пара (-4, -4) является решением данной системы уравнений.

Ответ: d) (-4; -4)