Question

Решение систем линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами методом вариации постоянных.

Answer 1

Полное решение в прикрепленном файле, здесь некоторые подробные расчеты пропущены, так как слишком длинное решение не хочет добавляться.

$\begin{cases} x'=4x+6y-\sin t\\ y'=3x+y+e^{5t} \end{cases}$

Продифференцируем первое уравнение:

$x''=4x'+6y'-\cos t$

Подставим выражение для y' из второго уравнения:

$x''=4x'+6(3x+y+e^{5t})-\cos t$

$x''=4x'+18x+6y+6e^{5t}-\cos t$

От получившегося уравнения отнимем первое уравнение системы:

$x''-x'=4x'+18x+6y+6e^{5t}-\cos t-(4x+6y-\sin t)$

$x''-x'=4x'+18x+6y+6e^{5t}-\cos t-4x-6y+\sin t$

$x''-5x'-14x=6e^{5t}+\sin t-\cos t$

Решим однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному:

$x''-5x'-14x=0$

Составим характеристическое уравнение:

$\lambda^2-5\lambda-14=0$

$\lambda_1=7;\ \lambda_2=-2$

$X=C_1e^{7t}+C_2e^{-2t}$

Предположим, что $C_1$ и $C_2$ не константы, а некоторые функции $C_1=z_1(t)$ и $C_2=z_2(t)$.

Найдем первую производную:

$X'=C_1'e^{7t}+7C_1e^{7t}+C_2'e^{-2t}-2C_2e^{-2t}$

Пусть $C_1'e^{7t}+C_2'e^{-2t}=0$. Тогда:

$X'=7C_1e^{7t}-2C_2e^{-2t}$

Найдем вторую производную:

$X''=7C_1'e^{7t}+49C_1e^{7t}-2C_2'e^{-2t}+4C_2e^{-2t}$

Подставим значения функции и производных в уравнение относительно х:

$7C_1'e^{7t}+49C_1e^{7t}-2C_2'e^{-2t}+4C_2e^{-2t}-5(7C_1e^{7t}-2C_2e^{-2t})-\\-14(C_1e^{7t}+C_2e^{-2t})=6e^{5t}+\sin t-\cos t$

$7C_1'e^{7t}+49C_1e^{7t}-2C_2'e^{-2t}+4C_2e^{-2t}-35C_1e^{7t}+10C_2e^{-2t}-\\-14C_1e^{7t}-14C_2e^{-2t}=6e^{5t}+\sin t-\cos t$

$7C_1'e^{7t}-2C_2'e^{-2t}=6e^{5t}+\sin t-\cos t$

Добавим к полученному уравнению условие, заданное на этапе нахождения первое производной:

$\begin{cases} C_1'e^{7t}+C_2'e^{-2t}=0 \\ 7C_1'e^{7t}-2C_2'e^{-2t}=6e^{5t}+\sin t-\cos t \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $C_1'$:

$C_1'=-C_2'e^{-9t}$

Подставим во второе уравнение:

$-7C_2'e^{-9t}e^{7t}-2C_2'e^{-2t}=6e^{5t}+\sin t-\cos t$

$-9C_2'e^{-2t}=6e^{5t}+\sin t-\cos t$

$C_2'=-\dfrac{6e^{5t}+\sin t-\cos t}{9e^{-2t}}$

$C_2'=-\dfrac{1}{9} \left(6e^{7t}+e^{2t}\sin t-e^{2t}\cos t\right)$

Найдем $C_1'$:

$C_1'=-C_2'e^{-9t}=\dfrac{1}{9} \left(6e^{-2t}+e^{-7t}\sin t-e^{-7t}\cos t\right)$

Необходимо проинтегрировать выражения для $C_1'$ и $C_2'$. Для этого предварительно вычислим следующие циклические интегралы, пользуясь формулой интегрирования по частям:

$\int udv=uv-\int vdu$

1)

$\int e^{2t}\sin tdt=\dfrac{1}{5}e^{2t} (2\sin t-\cos t)+C$

2)

$\int e^{2t}\cos tdt=\dfrac{1}{5}e^{2t} (\sin t+2\cos t)+C$

3)

$\int e^{-7t}\sin tdt=-\dfrac{1}{50} e^{-7t}(7\sin t+\cos t)+C$

4)

$\int e^{-7t}\cos tdt=\dfrac{1}{50} e^{-7t}(\sin t-7\cos t)+C$

Интегрируем выражение для $C_1'$:

$C_1=\dfrac{1}{9} \left(6\cdot \dfrac{1}{-2} e^{-2t}-\dfrac{1}{50} e^{-7t}(7\sin t+\cos t)-\dfrac{1}{50} e^{-7t}(\sin t-7\cos t)\right)+D_1$

$C_1=-\dfrac{1}{3} e^{-2t}-\dfrac{1}{225} e^{-7t}(4\sin t-3\cos t)+D_1$

Интегрируем выражение для $C_2'$:

$C_2=-\dfrac{1}{9} \left(6\cdot\dfrac{1}{7} e^{7t}+\dfrac{1}{5} e^{2t}(2\sin t-\cos t)-\dfrac{1}{5}e^{2t} (\sin t+2\cos t)\right)+D_2$

$C_2=-\dfrac{2}{21} e^{7t}-\dfrac{1}{45} e^{2t}(\sin t-3\cos t)+D_2$

Подставляем выражения для $C_1$ и $C_2$ в решение:

$x=\left(-\dfrac{1}{3} e^{-2t}-\dfrac{1}{225} e^{-7t}(4\sin t-3\cos t)+D_1\right)e^{7t}+\\+\left(-\dfrac{2}{21} e^{7t}-\dfrac{1}{45} e^{2t}(\sin t-3\cos t)+D_2\right)e^{-2t}$

$x=-\dfrac{1}{3} e^{5t}-\dfrac{1}{225} (4\sin t-3\cos t)+D_1e^{7t}-\dfrac{2}{21} e^{5t}-\dfrac{1}{45}(\sin t-3\cos t)+D_2e^{-2t}$

$x=D_1e^{7t}+D_2e^{-2t}-\dfrac{3}{7} e^{5t}-\dfrac{1}{25} (\sin t-2\cos t)$

Найдем производную:

$x'=7D_1e^{7t}-2D_2e^{-2t}-\dfrac{3}{7}\cdot5e^{5t}-\dfrac{1}{25} (\cos t+2\sin t)$

$x'=7D_1e^{7t}-2D_2e^{-2t}-\dfrac{15}{7}e^{5t}-\dfrac{1}{25} (\cos t+2\sin t)$

Из первого уравнения исходной системы выразим у:

$y=\dfrac{1}{6} \left(x'-4x+\sin t\right)$

Подставляем выражения для х и х':

$y=\dfrac{1}{6} \left(7D_1e^{7t}-2D_2e^{-2t}-\dfrac{15}{7}e^{5t}-\dfrac{1}{25} (\cos t+2\sin t)-$

$\left-4\left(D_1e^{7t}+D_2e^{-2t}-\dfrac{3}{7} e^{5t}-\dfrac{1}{25} (\sin t -2\cos t)\right)+\sin t\right)=$

$=\dfrac{1}{2} D_1e^{7t}-D_2e^{-2t}-\dfrac{1}{14}e^{5t}+\dfrac{1}{50} (9\sin t-3\cos t)$

ответ: $\begin{cases} x=D_1e^{7t}+D_2e^{-2t}-\dfrac{3}{7} e^{5t}-\dfrac{1}{25} (\sin t-2\cos t) \\ y=\dfrac{1}{2} D_1e^{7t}-D_2e^{-2t}-\dfrac{1}{14}e^{5t}+\dfrac{1}{50} (9\sin t-3\cos t)\end{cases}$