Существуют такие формы записи уравнения прямой в пространстве:
1) {A1x+B1y+C1z+D1=0(P1)A2x+B2y+C2z+D2=0(P2)− общее уравнение прямой L в пространстве, как линии пересечения двух плоскостей P1 и P2.
pryamayavprostr1
2) x−x0m=y−y0n=z−z0p− каноническое уравнение прямой L, которая проходит через точку M(x0,y0,z0) параллельно вектору S⎯⎯⎯=(m,n,p). Вектор S⎯⎯⎯ является направляющим вектором прямой L.
pryamayavprostr2
3) x−x1x2−x1=y−y1y2−y1=z−z1z2−z1− уравнение прямой, которая проходит через две точки A(x1,y1,z1) и B(x2,y2,z2).
4) Приравнивая каждую из частей канонического уравнения 2 к прараметру t, получаем параметрическое уравнение прямой:
⎧⎩⎨⎪⎪x=x0+mty=y0+ntz=z0+pt
Расположение двух прямых в пространстве.
Пусть L1: x−x1m1=y−y1n1=z−z1p1 S⎯⎯⎯1=(m1,n1,p1);
L2: x−x2m2=y−y2n2=z−z2p2, S⎯⎯⎯2=(m2,n2,p2).
Условие параллельности двух прямых: Прямые L1 и L2 параллельны тогда и только тогда, когда S⎯⎯⎯1∥S⎯⎯⎯2⇔ m1m2=n1n2=p1p2.
Условие перпендикулярности двух прямых: L1⊥L2⇔ S⎯⎯⎯1⊥S⎯⎯⎯2⇔ m1⋅m2+n1⋅n2+p1⋅p2=0.
Угол между прямыми:
cos(L1,L2)ˆ= S⎯⎯⎯1⋅S⎯⎯⎯2|S⎯⎯⎯1|⋅|S⎯⎯⎯2|=m1⋅m2+n1⋅n2+p1⋅p2m21+n21+p21√⋅m22+n22+p22√.
ugol2
Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на данную прямую.
Пусть прямая L задана уравнением x−x0m=y−y0n=z−z0p, следовательно S⎯⎯⎯=(m,n,p). Пусть также M2=(x2,y2,z2)− произвольная точка, принадлежащая прямой L. Тогда расстояние от точки M1=(x1,y1,z1) до прямой L можно найти по формуле:
d(M1,L)=|[M1M2⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯,S⎯⎯⎯]||S⎯⎯⎯|.
dist
Примеры.
2.198. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M0(2,0,−3) параллельно:
а) вектору q(2,−3,5);
б) прямой x−15=y+22=z+1−1;
в) оси OX;
д) прямой {3x−y+2z−7=0,x+3y−2z−3=0;
е) прямой x=−2+t,y=2t,z=1−12t.
Решение.
а) Воспользуемся формулой (2) уравнения прямой в пространстве:
x−x0m=y−y0n=z−z0p− каноническое уравнение прямой L, которая проходит через точку M(x0,y0,z0) параллельно вектору S⎯⎯⎯=(m,n,p).
По условию M0(2,0,−3) и S⎯⎯⎯=q(2,−3,5).
Таким образом, x−22=y−0−3=z−(−3)5⇒x−22=y−3=z+35.
ответ: x−22=y−3=z+35.
б) Прямая, параллельная заданной прямой, должна быть параллельна ее направляющему вектору. Направляющий вектор прямой x−15=y+22=z+1−1 имеет координаты S⎯⎯⎯(5,2,−1). Далее, находим уравнение прямой проходящей точку M0(2,0,−3) параллельно вектору S⎯⎯⎯(5,2,−1) как и в пункте а):
x−25=y−02=z−(−3)−1⇒x−25=y2=z+3−1.
ответ: x−25=y2=z+3−1.
в) ось OX имеет направляющий вектор i=(1,0,0). Таким образом, ищем уравнение прямой проходящей точку M0(2,0,−3) параллельно вектору i(1,0,0):
x−21=y−00=z−(−3)0⇒x−21=y0=z+30.
ответ: x−21=y0=z+30.
д) Прямая, заданная как пересечение двух плоскостей перпендикулярна нормалям обеих плоскостей, поэтому Направляющий вектор прямой
{3x−y+2z−7=0,x+3y−2z−3=0; можно найти как векторное произведение нормалей заданных плоскостей.
Для плоскости P1: 3x−y+2z−7=0 нормальный вектор имеет координаты N1(3,−1,2);
для плосости P2: x+3y−2z−3, нормальный вектор имеет координаты N2(1,3,−2).
Находим векторное произведение:
[N1,N2]=∣∣∣∣∣i31j−13k2−2∣∣∣∣∣=i(2−6)−j(−6−2)+k(9+1)=−4i+8j+10k.
Таким образом, направляющий вектор прямой {3x−y+2z−7=0,x+3y−2z−3=0; имеет координаты S⎯⎯⎯(−4,8,10).
Далее нам необходимо найти уравнение прямой проходящей точку M0(2,0,−3) параллельно вектору S⎯⎯⎯(−4,8,10):
x−2−4=y−08=z−(−3)10⇒x−2−4=y8=z+310.
ответ: x−2−4=y8=z+310.
{jumi[*4]}
е) Найдем направляющий вектор прямой x=−2+t,y=2t,z=1−12t. Для этого запишем уравнение этой прямой в каноническом виде:
⎧⎩⎨⎪⎪x=−2+t,y=2t,z=1−12t⇒ ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪t=x+2,t=y2,t=z−1−12 ⇒x+21=y2=z−1−12.
Отсюда находим направляющий вектор S⎯⎯⎯(1,2,−12). Умножим координаты направляющего вектора на 2 (чтобы избавиться от дроби): S⎯⎯⎯1(2,4,−1).
Далее нам необходимо найти уравнение прямой проходящей точку M0(2,0,−3) параллельно вектору S⎯⎯⎯(2,4,−1):
x−22=y−04=z−(−3)−1⇒x−22=y4=z+3−1.
ответ: x−22=y4=z+3−1.
2.199(a). Написать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M1(1,−2,1) и M2(3,1,−1).
Решение.
Воспользуемся формулой (3) уравнения прямой в пространстве:
x−x1x2−x1=y−y1y2−y1=z−z1z2−z1− уравнение прямой, которая проходит через две точки A(x1,y1,z1) и B(x2,y2,z2).
Подставляем заданные точки:
x−13−1=y+21+2=z−1−1−1⇒ x−12=y+23=z−1−2.
ответ: x−12=y+23=z−1−2.
2.204. Найти расстояние между параллельными прямыми
x−23=y+14=z2 и x−73=y−14=z−32.
Решение.
Расстояние между параллельными прямыми L1 и L2 равно расстоянию от произвольной точки прямой L1 до прямой L2. Следовательно, его можно найти по формуле
d(L1,L2)=d(M1,L2)=|[M1M2⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯,S⎯⎯⎯]||S⎯⎯⎯|,
где M1− произвольная точка прямой L1, M2−произвольная точка прямой L2, S⎯⎯⎯− направляющий вектор прямой L2.
Из канонических уравнений прямых берем точки M1=(2,−1,0)∈L1, M2=(7,1,3)∈L2, $\overline S=(3, 4, 2).$
Отсюда находим M1M2⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯=(7−2,1−(−1),3−0)=(5,2,3);
1.Надо продумать цель проекта, гипотезу, цели, задачи. То есть продумать теоритическую часть...
2. Собрать материал о растениях и животных Украины, занесенных в Красную книгу. Для этого можно посетить зоопарк, ботанический сад, если есть такая возможность, сфотографировать всё. Может быть даже записать звуки животных.(Если вы будете делать озвученную презентацию. Если нет такой возможности, то можно найти фотографии в интернете. Можно выполнить рисунки, подобрать загадки или сочинить самим. Тут очень много можно придумать... если пофантазировать...Если групповой проект, то можно распределить детей, кто за что будет отвечать, готовить. (может, кто-то рисует, кто-то сочиняет стихи, загадки. А может есть таланты среди родителей.Будет проще. Конечно, большая потребуется от родителей.
3. Затем все это можно оформить в виде презентации в Point или в виде красочного выступления, в виде сказки. Над этим тоже нужно хорошенько подумать.
И все, желаю вам творческих успехов!
10 метров длина бордюра
Пошаговое объяснение:
a= 3м
b= 2м
Р= ?
Р=(a+b)×2
Р= (3+2)×2= 10м