Высота пирамиды равна 7см. На расстоянии wсм (w<7) от основания её пересекает плоскость, параллельная основанию. Вычислить отношение объёмов большей и меньшей пирамид.
Чтобы вычислить отношение объемов большей и меньшей пирамид, нам необходимо сначала найти объем каждой пирамиды.
По определению, объем пирамиды можно вычислить по формуле:
V = (1/3) * S * h,
где V - объем пирамиды, S - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.
Для начала найдем площадь основания большей и меньшей пирамиды. Поскольку обе пирамиды имеют одинаковую форму основания и параллельны друг другу, то их площади также будут пропорциональны.
Допустим площадь основания меньшей пирамиды равна S1, а площадь основания большей пирамиды равна S2.
Так как пирамида находится на расстоянии wсм от основания, значит, расстояние от пирамиды до пересекающей плоскости будет равно 7 - wсм.
Теперь, чтобы найти площадь основания большей пирамиды, нужно учесть соотношение площадей оснований и расстояний от них до плоскости. Это можно сделать, используя пропорцию:
S1 / (7 - w) = S2 / w
Для нахождения отношения объемов большей и меньшей пирамид примем, что объемы пирамид также пропорциональны и обозначим их как V1 и V2.
Теперь подставим все значения в формулу для объема пирамиды V = (1/3) * S * h:
V1 = (1/3) * S1 * h и V2 = (1/3) * S2 * h
Используя пропорцию площадей оснований и расстояний, найденную ранее, мы можем записать:
S2 = (w / (7 - w)) * S1
Теперь мы можем записать формулы для объемов пирамид:
По определению, объем пирамиды можно вычислить по формуле:
V = (1/3) * S * h,
где V - объем пирамиды, S - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.
Для начала найдем площадь основания большей и меньшей пирамиды. Поскольку обе пирамиды имеют одинаковую форму основания и параллельны друг другу, то их площади также будут пропорциональны.
Допустим площадь основания меньшей пирамиды равна S1, а площадь основания большей пирамиды равна S2.
Так как пирамида находится на расстоянии wсм от основания, значит, расстояние от пирамиды до пересекающей плоскости будет равно 7 - wсм.
Теперь, чтобы найти площадь основания большей пирамиды, нужно учесть соотношение площадей оснований и расстояний от них до плоскости. Это можно сделать, используя пропорцию:
S1 / (7 - w) = S2 / w
Для нахождения отношения объемов большей и меньшей пирамид примем, что объемы пирамид также пропорциональны и обозначим их как V1 и V2.
Теперь подставим все значения в формулу для объема пирамиды V = (1/3) * S * h:
V1 = (1/3) * S1 * h и V2 = (1/3) * S2 * h
Используя пропорцию площадей оснований и расстояний, найденную ранее, мы можем записать:
S2 = (w / (7 - w)) * S1
Теперь мы можем записать формулы для объемов пирамид:
V1 = (1/3) * S1 * 7 и V2 = (1/3) * ((w / (7 - w)) * S1) * 7
V1 = (1/3) * S1 * 7 и V2 = (1/3) * ((w * 7) / (7 - w)) * S1
Теперь, чтобы найти отношение объемов V1 и V2, нужно разделить V2 на V1:
(V2 / V1) = (1/3) * ((w * 7) / (7 - w)) * S1 / ((1/3) * S1 * 7)
Во множителях 1/3 и S1 сократятся, поэтому упрощаем выражение:
(V2 / V1) = (w * 7 * 1) / ((7 - w) * 7)
Здесь заметим, что 7 сократится:
(V2 / V1) = (w * 1) / (7 - w)
Таким образом, мы получаем отношение объемов V2 и V1:
(V2 / V1) = w / (7 - w)
Это и есть ответ на вопрос. Отношение объемов большей и меньшей пирамиды равно w / (7 - w).