ОЧЕНЬ Даны три последовательные вершины параллелограмма А(1;2), В(-1;3),С(-4;-2). Не находя координаты вершины D, найти:
1) уравнение стороны AD;
2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD;
3) длину высоты BK;
4) уравнение диагонали BD;
5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма.
Записать общие уравнения найденных прямых.
Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые геометрические свойства параллелограмма и формулы, связывающие координаты точек на плоскости. Давайте пошагово решим каждый пункт задачи.
1) Уравнение стороны AD:
Так как точки A и C являются последовательными вершинами параллелограмма, сторона AD будет параллельна стороне BC и будет иметь такую же длину. Поэтому мы можем найти уравнение стороны AD, зная координаты точек C и D. Для этого нам нужно найти уравнение прямой, проходящей через точки C и D. Для этого определим угловой коэффициент прямой и используем формулу вида y = kx + b, где k - угловой коэффициент, а b - свободный член.
Так как точки C и D последовательные вершины, то угловой коэффициент прямой CD будет равен отношению разности координат y к разности координат x:
k = (yD - yC)/(xD - xC) = (-2 - 3)/(-4 - (-1)) = -5/(-3) = 5/3
Теперь мы можем записать уравнение стороны AD:
y - yA = k(x - xA)
Подставим координаты точки A:
y - 2 = (5/3)(x - 1)
2) Уравнение высоты BK, опущенной из вершины B на сторону AD:
Для нахождения уравнения прямой BK нам понадобятся координаты вершины B и угловой коэффициент прямой AD. Так как прямые AD и BK перпендикулярны друг другу (прямые, перпендикулярные друг другу, имеют прямоугольные углы между собой), то угловой коэффициент прямой BK будет равен отрицательному обратному угловому коэффициенту прямой AD:
kAD = 5/3
kBK = -1/kAD = -3/5
Уравнение прямой BK имеет вид:
y - yB = k(x - xB)
Подставим координаты точки B:
y - 3 = (-3/5)(x + 1)
3) Длина высоты BK:
Длина высоты BK равна расстоянию между точками B и точкой пересечения прямых AD и BK. Для нахождения этой точки пересечения мы можем решить систему уравнений прямых AD и BK:
y - 2 = (5/3)(x - 1)
y - 3 = (-3/5)(x + 1)
Решив эту систему уравнений, мы найдем координаты точки пересечения, которые и являются координатами точки K.
4) Уравнение диагонали BD:
Так как точки B и D являются последовательными вершинами параллелограмма, диагональ BD будет иметь такой же угловой коэффициент, как и прямая BK. Также, так как точки B и D - диагонально противоположные вершины параллелограмма, то точка D должна лежать на прямой BK. Зная уравнение прямой BK, мы можем записать уравнение диагонали BD.
Уравнение прямой BD имеет вид:
y - yB = k(x - xB)
Подставим координаты точки B и угловой коэффициент прямой BK:
y - 3 = (-3/5)(x + 1)
5) Тангенс угла между диагоналями параллелограмма:
Угол между прямыми может быть найден с использованием формулы:
tg(angle) = |(k2 - k1)/(1 + k1 * k2)|,
где k1 и k2 - угловые коэффициенты прямых.
Угловые коэффициенты прямых BD и DC равны угловым коэффициентам прямых BK и KC соответственно.
Зная угловые коэффициенты прямых BK и KC, мы можем записать уравнение прямых BD и DC и, затем, подставить их в формулу для нахождения тангенса угла между диагоналями.
Общие уравнения найденных прямых:
1) Уравнение стороны AD: y - 2 = (5/3)(x - 1)
2) Уравнение высоты BK: y - 3 = (-3/5)(x + 1)
3) Уравнение диагонали BD: y - 3 = (-3/5)(x + 1) (это же уравнение, как и уравнение высоты BK)