Question

Определи верное свойство функции
y = x^-(2n+1)

1. Выпукла вниз и при х < 0, и при х = 0
2. Выпукла вниз и при х = 0, и при х > 0
3. Выпукла вниз и при х < 0, и при х > 0

Answer 1

Для определения свойства функции y = x^-(2n+1) относительно выпуклости, мы можем исследовать знак ее второй производной.

Вторая производная функции y вычисляется путем взятия производной от первой производной, что даст нам два обращения в противоположную степень x. Используя правила дифференцирования, получим:

d^2y/dx^2 = d/dx (d/dx y) = d/dx ((-2n+1)x^-(2n)) = (-2n)(-2n-1)x^(-2n-2) = 2n(2n+1)x^(-2n-2).

Теперь мы можем проанализировать знак второй производной в разных интервалах значений x:

1. Для x < 0:
При x < 0, x^(-2n-2) всегда положительно, независимо от значения n.
Значит, знак второй производной зависит только от знака выражения 2n(2n+1).
Если 2n(2n+1) < 0, то вторая производная будет отрицательна (y < 0) и функция будет выпуклой вниз.
Если 2n(2n+1) > 0, то вторая производная будет положительна (y > 0) и функция не будет выпуклой.

2. Для x > 0:
Здесь мы также можем проанализировать знак выражения 2n(2n+1).
Если 2n(2n+1) < 0, то вторая производная будет отрицательна (y < 0) и функция будет выпуклой вниз.
Если 2n(2n+1) > 0, то вторая производная будет положительна (y > 0) и функция не будет выпуклой.

Таким образом, верное свойство функции y = x^-(2n+1) будет:

1. Выпукла вниз и при x < 0, и при x = 0.