Для исследования функции на условный экстремум нам необходимо использовать метод множителей Лагранжа.
Шаг 1: Запишем функцию, которую нам нужно исследовать, а также ограничение:
Z = 1/x + 1/y,
x + y = 2.
Шаг 2: Введем множители Лагранжа. Обозначим их как λ:
f(x,y) = 1/x + 1/y + λ(x + y - 2).
Шаг 3: Найдем частные производные функции f(x,y) по x, y и λ:
∂f/∂x = -1/x^2 + λ,
∂f/∂y = -1/y^2 + λ,
∂f/∂λ = x + y - 2.
Шаг 4: Решим систему уравнений, приравняв частные производные к нулю:
-1/x^2 + λ = 0,
-1/y^2 + λ = 0,
x + y = 2.
Шаг 5: Решим первые два уравнения системы относительно λ:
1/x^2 = λ,
1/y^2 = λ.
Отсюда получаем, что 1/x^2 = 1/y^2. Умножим обе части на x^2 и y^2:
y^2 = x^2.
Шаг 6: Подставим это равенство в третье уравнение системы:
x + y = 2.
Получаем систему уравнений:
y^2 = x^2,
x + y = 2.
Шаг 7: Решим эту систему уравнений. Выразим y из второго уравнения и подставим в первое:
y = 2 - x,
(2 - x)^2 = x^2.
Раскроем скобки:
4 - 4x + x^2 = x^2.
Упростим:
4 - 4x = 0.
Шаг 8: Решим это уравнение относительно x:
4 = 4x,
x = 1.
Шаг 9: Найдем значение y, подставив найденное x во второе уравнение системы:
1 + y = 2,
y = 1.
Шаг 10: Теперь найдем значение функции Z в точке (x, y) = (1, 1):
Z = 1/x + 1/y = 1/1 + 1/1 = 1 + 1 = 2.
Ответ: Значение функции Z равно 2 в точке (x, y) = (1, 1).
Для проверки можно взять другие точки, полученные при решении системы уравнений, и посчитать значения функции Z в этих точках. Если в какой-то из точек значение функции будет больше или меньше 2, то в точке (1, 1) будет достигаться условный экстремум.
Шаг 1: Запишем функцию, которую нам нужно исследовать, а также ограничение:
Z = 1/x + 1/y,
x + y = 2.
Шаг 2: Введем множители Лагранжа. Обозначим их как λ:
f(x,y) = 1/x + 1/y + λ(x + y - 2).
Шаг 3: Найдем частные производные функции f(x,y) по x, y и λ:
∂f/∂x = -1/x^2 + λ,
∂f/∂y = -1/y^2 + λ,
∂f/∂λ = x + y - 2.
Шаг 4: Решим систему уравнений, приравняв частные производные к нулю:
-1/x^2 + λ = 0,
-1/y^2 + λ = 0,
x + y = 2.
Шаг 5: Решим первые два уравнения системы относительно λ:
1/x^2 = λ,
1/y^2 = λ.
Отсюда получаем, что 1/x^2 = 1/y^2. Умножим обе части на x^2 и y^2:
y^2 = x^2.
Шаг 6: Подставим это равенство в третье уравнение системы:
x + y = 2.
Получаем систему уравнений:
y^2 = x^2,
x + y = 2.
Шаг 7: Решим эту систему уравнений. Выразим y из второго уравнения и подставим в первое:
y = 2 - x,
(2 - x)^2 = x^2.
Раскроем скобки:
4 - 4x + x^2 = x^2.
Упростим:
4 - 4x = 0.
Шаг 8: Решим это уравнение относительно x:
4 = 4x,
x = 1.
Шаг 9: Найдем значение y, подставив найденное x во второе уравнение системы:
1 + y = 2,
y = 1.
Шаг 10: Теперь найдем значение функции Z в точке (x, y) = (1, 1):
Z = 1/x + 1/y = 1/1 + 1/1 = 1 + 1 = 2.
Ответ: Значение функции Z равно 2 в точке (x, y) = (1, 1).
Для проверки можно взять другие точки, полученные при решении системы уравнений, и посчитать значения функции Z в этих точках. Если в какой-то из точек значение функции будет больше или меньше 2, то в точке (1, 1) будет достигаться условный экстремум.