Даны четыре точки: A1(1; 3; 6), A2(2; 2; 1), A3(-1; 0; 1), A4(-4; 6; -3).
Составить уравнения:
а) Плоскости (A1 A2 A3 );
Находим векторы: А1А2 и А1А3.
А1А2 = (2-1; 2-3; 1-6) = (1; -1; -5).
А1А3 = (-1-1; 0-3; 1-6) = (-2; -3; -5).
Находим векторное произведение:
(x - 1) (y - 3) (z - 6)| (x - 1) (y - 3)
1 -1 -5| 1 -1
-2 -3 -5| -2 -3 = 5(x - 1) + 10(y - 3) - 3(z - 6) +
+ 5((y - 3) - 15(x - 1) - 2(z - 6) =
= 5x - 5 + 10y - 30 - 3z + 18 + 5y - 15 - 15x + 15 - 2z + 12 =
= -10x + 15y - 5z - 5 = 0 или, сократив на (-5): 2x - 3y +z + 1 = 0.
б) Прямой A1 A2. Вектор А1А2 = (1; -1; -5) (см, п. а). Точка A1(1; 3; 6).
Уравнение А1А2: (x - 1)/1 = (y - 3)/(-1) = (z - 6)/(-5).
в) Прямой A1 M4 , перпендикулярной к плоскости (A1 A2 A 3).
Нормальный вектор n плоскости А1А2А3 2x - 3y +z + 1 = 0 - это направляющий вектор перпендикуляра к этой плоскости.
n = (2; -3; 1), точка A1(1; 3; 6).
Уравнение А1М4: (x - 1)/2 = ( y - 3)/(-3) = (z - 6)/1.
г) Прямой A N3 , параллельной прямой A1 A2.
Неизвестны координаты точки А, решение невозможно.
Вычислить:
д) Объем пирамиды A1A2A3А4.
V = (1/6)*|(A1A2xA1A3)*(A1A4)|.
Векторное произведение А1А2хА1А3 = (-10; 15; -5) (см.п.а)
Находим вектор А1А4 = (-4-1; 6-3; -3-6) = (-5; 3; -9).
V = (1/6)*|(-10*(-5)+15*3+(-5)*(-9))| = 140/6 = (70/3) куб.ед.
е) Высоту, опущенную из вершины A4 на грань (A1 A2 A3 ).
H = 3V/S(A1A2A3).
Площадь грани А1A2A3 равна половине модуля векторного произведения А1А2 и А1А3
S(A1A2A3) = (1/2)√((-10)² + 15² + (-5)²) = (1/2)√(100+225+25) =
= (1/2)√350 = (5/2)√14 ≈ 9,354143.
Тогда H = 3*(70/3)/((5/2)√14) = 2√14 ≈ 7,483315.
Для решения задачи сперва находим количество школьников, которые не изучают английский язык.
Для этого отнимаем от всех школьников тех, кто изучает английский язык.
18 - 12 = 6 школьников изучают только немецкий.
Аналогичным находим тех, кто не изучает немецкий язык.
18 - 14 = 4 школьника изучает только английский язык.
Находим общее число школьников, которые изучают только 1 язык.
6 + 4 = 10 школьников.
Находим школьников, которые изучают 2 языка.
Для этого от 18 школьников отнимаем тех, кто изучает только 1 язык.
18 - 10 = 8 школьников.
8 школьников
f(x)= 1/2x^6 + 2x^3
Похідна:
-3/х^7 - 6х²