Выражение 1)f(x)=2x+5 для дальнейших вычислений представлено в математическом виде как 1). В этом выражении необходимо правую часть перенести со знаком минус в левую часть.
y = x^2-6*x+3
1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.
f'(x) = 2·x-6
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
2·x-6 = 0
Откуда:
x1 = 3
(-∞ ;3) (3; +∞)
f'(x) < 0 f'(x) > 0
функция убывает функция возрастает
В окрестности точки x = 3 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 3 - точка минимума.
y = 1/x-3
Найдем точки разрыва функции.
x1 = 0
1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.
или
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
1 ≠ 0
Для данного уравнения корней нет.
(-∞ ;0) (0; +∞)
f'(x) < 0 f'(x) < 0
функция убывает функция убывает
Пошаговое объяснение:
Исследование функции с производной
Определение: Точка х0 называется точкой локального максимума, если для любого х из окрестности точки х0 выполняется неравенство: f(x0)>f(x).
Определение: Точка х0 называется точкой локального минимума, если для любого х из окрестности точки х0 выполняется неравенство: f(x0)<f(x).
Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума данной функции, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.
Точками экстремума могут служить только критические точки I рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная f′(x) обращается в нуль или терпит разрыв.
Правило нахождения экстремумов функции y=f(x) с первой производной
Найти производную функции f′(x).
Найти критические точки по первой производной, т.е. точки, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв.
Исследовать знак первой производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x). Если на промежутке f′(x)<0, то на этом промежутке функция убывает; если на промежутке f′(x)>0, то на этом промежутке функция возрастает.
Если в окрестности критической точки f′(x) меняет знак с «+» на «-», то эта точка является точкой максимума, если с «-» на «+», то точкой минимума.
Вычислить значения функции в точках минимума и максимума.
С приведенного алгоритма можно найти не только экстремумы функции, но и промежутки возрастания и убывания функции.
ПРИМЕР №1: Найти промежутки монотонности и экстремумы функции: f(x)=x3–3x2.
Решение: Найдем первую производную функции f′(x)=3x2–6x.
Найдем критические точки по первой производной, решив уравнение 3x2–6x=0; 3x(x-2)=0 ;x = 0, x = 2
Исследуем поведение первой производной в критических точках и на промежутках между ними.
x (-∞, 0) 0 (0, 2) 2 (2, +∞)
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) возрастает max убывает min возрастает
f(0) = 03 – 3*02 = 0
f(2) = 23 – 3*22 = -4
ответ: Функция возрастает при x∈(-∞ ; 0)∪(2; +∞); функция убывает при x∈(0;2);
точка минимума функции (2;-4); точка максимума функции (0;0).
Правило нахождения экстремумов функции y=f(x) с второй производной
Найти производную f′(x).
Найти стационарные точки данной функции, т.е. точки, в которых f′(x)=0.
Найти вторую производную f″(x).
Исследовать знак второй производной в каждой из стационарных точек. Если при этом вторая производная окажется отрицательной, то функция в такой точке имеет максимум, а если положительной, то – минимум. Если же вторая производная равна нулю, то экстремум функции надо искать с первой производной.
Вычислить значения функции в точках экстремума.
Отсюда следует, что дважды дифференцируемая функция f(x) выпукла на отрезке [a, b], если вторая производная f"(x) ≥ 0 при всех х [a, b].
Все вычисления можно проделать в онлайн режиме.
ПРИМЕР №2. Исследовать на экстремум с второй производной функцию: f(x) = x2 – 2x - 3.
Решение: Находим производную: f′(x) = 2x - 2.
Решая уравнение f′(x) = 0, получим стационарную точку х=1. Найдем теперь вторую производную: f″(x) = 2.
Так как вторая производная в стационарной точке положительна, f″(1) = 2 > 0, то при x = 1 функция имеет минимум: fmin = f(1) = -4.
ответ: Точка минимума имеет координаты (1; -4).
Если что я учитель по Алгебре
Пошаговое объяснение:
1. 4) 31
2. 3) 450 = 2*3*3*5*5 = 2*9*5*5
Примечание: 2) 450 = 1*2*3*3*5*5 тоже подходит, но обычно в разложении 1 не пишут.
3. 4) 8.
835686 делится на 9.
6. 4) x*10 = 5*12 = 60
7. 2) 23
18% - 4,14
100% - x
x = 100*4,14/18 = 414/18 = 23
10. 1) 8,59
6,25 + 2,34 = 8,59
11. 3) 2x + 25,4
6x + 6*8,5 - 4*6,4 - 4x = 6x - 4x + 51 - 25,6 = 2x + 25,4
12. 1) Если количество отрицательных множителей нечётное, то произведение меньше нуля.
13. 2) 46
4ab = 4(-23)(-0,5) = 4*23*0,5 = 46
14. 3) 95
9,5*1000000 см = 9,5*10000 м = 95000 м = 95 км
15. 2) 7
10:2 = 5; 14:2 = 7
16. 3) 17
-2 - (-19) = -2 + 19 = 17
17. В 1 день теплоход км.
Осталось 675 - 225 = 450 км.
Во 2 день он км.
В 3 день он оставшиеся 450 - 144 = 306 км.
4) другой ответ.