Question

Найти первообразную f(x) = 6 cos ($\frac{x}{3}$) + 1.

Answer 1

F ( x ) =  18 sin ( 1 /3 x )  + x + C

Пошаговое объяснение:

Функция  F ( x )  может быть найдена с вычисления неопределенного интеграла от производной  f ( x ) .

F ( x ) = ∫ f ( x ) d x

Выпишем интеграл, чтобы решить его.

F ( x ) = ∫ 6 cos ( x/ 3 ) + 1 d x

Разложим интеграл на несколько интегралов.

∫ 6 cos ( x /3 ) d x + ∫ 1 d x

Поскольку  6  является константой по отношению к  x , вынесем  6  из интеграла.

6 ∫ cos ( x /3 ) d x + ∫ 1 d x

Пусть  u = x 3 . Тогда  d u = 1 3 d x , следовательно  3 d u = d x . Переписать, используя  u  и  d u .

6 ∫ cos ( u ) 1 /(1/ 3) d u + ∫ 1 d x

Упростим.

6 ∫ 3 cos ( u ) d u + ∫ 1 d x

Поскольку  3  является константой по отношению к  u , вынесем  3

из интеграла.

6 ( 3 ∫ cos ( u ) d u ) + ∫ 1 d x

Умножим  3  на  6 .

18 ∫ cos ( u ) d u + ∫ 1 d x

Интеграл  cos ( u )  относительно  u  равен  sin ( u ) .

18 ( sin ( u ) + C ) + ∫ 1 d x

Поскольку  1  является константой по отношению к  x , вынесем  1  из интеграла.

18 ( sin ( u ) + C ) + x + C

Упростим.

18 sin ( u ) + x + C

Заменим все  u  на  x /3 .

18 sin ( x /3 ) + x + C

Изменим порядок членов и получаем ответ:

F ( x ) =18 sin ( 1 /3 x ) + x + C