Question

Дворцовый чеканщик кладет в ящик вместимостью в 1000 монет 5 фальшивых. Король, подозревая чеканщика, подвергает монеты проверке. Из ящика для проверки он выбирает наугад 10 монет. Король принимает решение, что если хотя бы четыре монеты окажутся фальшивыми, чеканщик будет казнен. Каков шанс чеканщику выжить?

Answer 1

114587375584/114587378475

Пошаговое объяснение:

Общее кол-во вариантов выбрать 10 монет из 1000=С(1000,10)=1000!/(10!*990!)=263409560461970212832400

Чеканщик останется жить если среди  выборки количество фальшивых монет 0,1,2 или 3, соответственно настоящих монет 10,9,6,7

i - кол-во фальшивых монет (i=0,1,2,3)

Тогда количество вариантов, которые гарантируют чеканщику жизнь  

вычисляется по формуле Сумма( С(5,i)*C(995,10-i))=263409553816237939083776

Вариант чеканщика выжить 263409553816237939083776/263409560461970212832400=114587375584/114587378475=0.9999999747703452

Оценим эту же величину через биномиальное распределение.

Вероятность вытащить фальшивую монету p=0.005

Вероятность того, что в серии из 10 извлечений монеты все настоящие (1-p)^10=0.9511101304657719

1 фальшивая 10*p*(1-p)^9  =0.04779447891787798

2 фальшивых 45*p^2*(1-p)^8=0.001080779674022367

3 фальшивых 120*p^3*(1-p)^7=  1.448280970214226 -10^5

Сумма всех вероятностей 0.9999998718673744