Question

По интегралам Решите уравнение:

Answer 1

$y = C_{1} e^{-5x} + C_{2} xe^{-5x}$

Пошаговое объяснение:

Имеем дело с линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Частные решения такого уравнения ищутся в виде: $y = e^{kx}$. Подставляем этот вид в уравнение и спокойно делим левую и правую часть на экспоненту, так как она не может обратиться в 0: $k^2 + 10k + 25 = 0;$

$(k+5)^2 = 0.$

Это уравнение имеет один корень кратности 2: $k_{1,2} = -5;$

Так как кратность корня 2, то одно частное решение есть $e^{-5x}$ и линейное независимое ему $xe^{-5x}$.

Поэтому общее решение уравнения есть их линейная комбинация:

$y = C_{1} e^{-5x} + C_{2} xe^{-5x}, C_1, C_2 - const$