Question

с примером
Найдите интеграл, используя интегрирование по частям:

Answer 1

$\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin{\frac{x}{a}}} + C$

Пошаговое объяснение:

Для формулы интегрирования по частям возьмем

$u = \sqrt{a^2-x^2} = du = -\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}dx;$

$dv = dx = v = x;$

Подставляя в формулу, получаем:

$\int {\sqrt{a^2-x^2}} \, dx = x\sqrt{a^2-x^2} + \int \frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}} \, dx;$

Преобразуем интеграл в правой части:

$\int \frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx = - \int \frac{a^2-x^2-a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx = - \int \frac{a^2-x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx + \int \frac{a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx =$

$= - \int \sqrt{a^2-x^2}\,dx + a^2 \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx;$

Последний интеграл есть табличный: $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx = \arcsin{\frac{x}{a}} + const$

Обозначим искомый интеграл как $I = \int \sqrt{a^2-x^2}\,dx,$ тогда получаем уравнение относительно $I$:

$I = x\sqrt{a^2-x^2} - I + a^2 \arcsin{\frac{x}{a}} + const;$

$I = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin{\frac{x}{a}}} + C$