В группе из 10 спортсменов 6 мастеров спорта. Отбирают 3 спортсмена. Составить закон распределения случайной величины Х –числа мастеров спорта из отобранных спортсменов. Найти математическое ожидание случайной величины Х
Чтобы составить закон распределения случайной величины Х, нужно определить вероятности каждого возможного значения этой случайной величины.
В данном случае возможны три значения для случайной величины Х: 0, 1 и 2 (так как из трех отобранных спортсменов максимум 2 могут быть мастерами спорта).
1) Вероятность, что все отобранные спортсмены мастера спорта:
Так как в группе из 10 спортсменов 6 мастеров спорта, то вероятность выбрать мастера спорта из группы на первое место составляет 6/10, на второе место - 5/9 (так как после отбора первого спортсмена остается 9 человек, из которых 5 мастеров спорта), на третье место - 4/8. По формуле произведения вероятностей получаем: (6/10) * (5/9) * (4/8) = 120/720 = 1/6.
Таким образом, вероятность того, что все отобранные спортсмены мастера спорта, равна 1/6.
2) Вероятность, что два отобранных спортсмена мастера спорта и один нет:
Вероятность выбрать мастера спорта на первое место составляет 6/10, на второе место - 5/9 (так как после отбора первого спортсмена остается 9 человек, из которых 5 мастеров спорта), а не мастера спорта - 4/8.
Существует три возможные комбинации выбора одного не мастера спорта из трех отобранных спортсменов: МНМ, НММ и ММН. По формуле произведения вероятностей получаем: (6/10) * (4/9) * (5/8) + (4/10) * (6/9) * (5/8) + (6/10) * (5/9) * (4/8) = 80/720 + 120/720 + 120/720 = 320/720 = 4/9.
Таким образом, вероятность того, что два отобранных спортсмена мастера спорта и один нет, равна 4/9.
3) Вероятность, что один отобранный спортсмен мастер спорта и два нет:
Вероятность выбрать мастера спорта на первое место составляет 6/10, а не мастера спорта - 4/10. По формуле произведения вероятностей получаем: (6/10) * (4/9) * (3/8) = 72/720 = 1/10.
Таким образом, вероятность того, что один отобранный спортсмен мастер спорта и два нет, равна 1/10.
Теперь, чтобы найти математическое ожидание случайной величины Х, нужно умножить каждое возможное значение случайной величины на его вероятность и сложить результаты:
В данном случае возможны три значения для случайной величины Х: 0, 1 и 2 (так как из трех отобранных спортсменов максимум 2 могут быть мастерами спорта).
1) Вероятность, что все отобранные спортсмены мастера спорта:
Так как в группе из 10 спортсменов 6 мастеров спорта, то вероятность выбрать мастера спорта из группы на первое место составляет 6/10, на второе место - 5/9 (так как после отбора первого спортсмена остается 9 человек, из которых 5 мастеров спорта), на третье место - 4/8. По формуле произведения вероятностей получаем: (6/10) * (5/9) * (4/8) = 120/720 = 1/6.
Таким образом, вероятность того, что все отобранные спортсмены мастера спорта, равна 1/6.
2) Вероятность, что два отобранных спортсмена мастера спорта и один нет:
Вероятность выбрать мастера спорта на первое место составляет 6/10, на второе место - 5/9 (так как после отбора первого спортсмена остается 9 человек, из которых 5 мастеров спорта), а не мастера спорта - 4/8.
Существует три возможные комбинации выбора одного не мастера спорта из трех отобранных спортсменов: МНМ, НММ и ММН. По формуле произведения вероятностей получаем: (6/10) * (4/9) * (5/8) + (4/10) * (6/9) * (5/8) + (6/10) * (5/9) * (4/8) = 80/720 + 120/720 + 120/720 = 320/720 = 4/9.
Таким образом, вероятность того, что два отобранных спортсмена мастера спорта и один нет, равна 4/9.
3) Вероятность, что один отобранный спортсмен мастер спорта и два нет:
Вероятность выбрать мастера спорта на первое место составляет 6/10, а не мастера спорта - 4/10. По формуле произведения вероятностей получаем: (6/10) * (4/9) * (3/8) = 72/720 = 1/10.
Таким образом, вероятность того, что один отобранный спортсмен мастер спорта и два нет, равна 1/10.
Теперь, чтобы найти математическое ожидание случайной величины Х, нужно умножить каждое возможное значение случайной величины на его вероятность и сложить результаты:
Математическое ожидание = 0 * вероятность (Х = 0) + 1 * вероятность (Х = 1) + 2 * вероятность (Х = 2)
Математическое ожидание = 0 * (1/6) + 1 * (4/9) + 2 * (1/10)
Математическое ожидание = 0 + 4/9 + 2/10
Математическое ожидание = 4/9 + 1/5
Математическое ожидание = 20/45 + 9/45
Математическое ожидание = 29/45
Таким образом, математическое ожидание случайной величины Х (числа мастеров спорта из отобранных спортсменов) равно 29/45.