МІНІМ 14. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Его основания
ABCD и A1B1C1D1 - квадраты. Отрезок, соединяющий вершину
Сс центром основания a1b1c1d1 перпендикулярен основаниям.
а) Докажите, что прямые CC1 и BD перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми
A1C и AB, если
сторона основания параллелепипеда равна 6, а боковое ребро
равно sqrt34.
а) Докажем, что прямые CC1 и BD перпендикулярны.
Для этого воспользуемся методом математической индукции. Нам даны квадраты ABCD и A1B1C1D1 как основания параллелепипеда.
Шаг 1: Рассмотрим случай, когда СС1 и BD параллельны одной из плоскостей основания. Не умаляя общности, будем считать, что они параллельны плоскости ABCD.
В этом случае можно провести прямые CC1 и BD на плоскости ABCD. Обозначим точку пересечения этих прямых как М. Тогда, по свойству параллельных прямых, получим, что прямая MD1 также параллельна плоскости ABCD.
Рассмотрим прямую AB. Так как CC1 и BD параллельны плоскости ABCD, а прямая MD1 параллельна этой же плоскости, то прямая MD1 также параллельна прямой AB. Значит, MD1 и AB параллельны друг другу.
Получается, что наши прямые CC1 и BD, проведенные на плоскости ABCD, параллельны друг другу. Согласно условию задачи, прямая BD перпендикулярна плоскости ABCD. Значит, прямая CC1, проведенная в этой плоскости, перпендикулярна прямой BD.
Шаг 2: Предположим, что прямая CC1 и BD перпендикулярны для основания площади n-1.
Теперь проведем прямую CC1 параллельно плоскости A1B1C1D1, которая пересекает плоскость ABCD в точке М (как в шаге 1). По предположению индукции, прямая С1М перпендикулярна прямой BD. Также, по условию задачи, прямая CC1 перпендикулярна плоскости A1B1C1D1.
Так как прямая CC1 перпендикулярна плоскости A1B1C1D1 и параллельна прямой С1М, то прямая CC1 также перпендикулярна прямой BD.
Таким образом, мы успешно доказали, что прямые CC1 и BD перпендикулярны для всех случаев.
б) Найдем расстояние между прямыми A1C и AB.
Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно расстоянию между любой точкой одной плоскости и другой плоскости.
Возьмем точку А1 на плоскости A1B1C1D1 и точку A на плоскости ABCD. Проведем перпендикуляр к плоскости A1B1C1D1 из точки A1 и обозначим точку пересечения с плоскостью ABCD как N. Это будет нормаль к плоскостям, образующим параллелепипед.
Обратимся к треугольнику NA1C на плоскости ABCD. Так как NN1 и NC перпендикулярны плоскости ABCD в точках N и C, соответственно, то треугольник NA1C будет прямоугольным треугольником.
Мы знаем, что сторона основания параллелепипеда равна 6 и боковое ребро равно sqrt34. Также, по условию, сторона основания A1B1C1D1 равна стороне основания ABCD, то есть 6.
Тогда по теореме Пифагора находим длины сторон треугольника NA1C:
AC = 6 (сторона основания ABCD),
AN1 = sqrt(AC^2 - A1C^2) = sqrt(6^2 - 6^2) = sqrt(36 - 36) = 0,
NC = sqrt(A1C^2 - AC^2) = sqrt(6^2 - 6^2) = sqrt(36 - 36) = 0.
Обратим внимание, что точка N находится на плоскости ABCD, поэтому AN, NC и AC являются сторонами треугольника на данной плоскости.
Так как две стороны треугольника равны нулю, то он будет вырожденным (то есть длины этих сторон равны нулю). В таком случае, расстояние между плоскостями A1C и AB будет равно нулю.
Итак, расстояние между прямыми A1C и AB равно нулю.
Я надеюсь, что эта подробная информация помогла вам понять решение задачи. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задать их мне.