Question

Имеется 10 палочек длины 1; 1,9 ; 1,9² ;;1,9⁹ . Можно ли из этих палочек, используя не обязательно все, сложить а) треугольник б) равнобедренный треугольник? МАКСИМАЛЬНО подробно .Актуально до 15.00 МСК, 17.06.20.

Answer 1

а) Можно. Для этого удобно брать палочки, идущие подряд. Возьмем первые 5 палочек: $1=1,9^0,\; 1,9,\; 1,9^2,\; 1,9^3,\; 1,9^4$.

Построим треугольник ABC: $AB=1+1,9^2,\; BC=1,9+1,9^3,\; AC=1,9^4$. Заметим, что $ACAB,\; ACBC$, поэтому можно не рассматривать неравенства треугольника, включающие эту сторону. Осталось доказать, что $AC$. Действительно $AB+BC=1+1,9+1,9^2+1,9^3=\frac{1,9^4-1}{1,9-1}$ по формуле суммы геометрической прогрессии. Но $\frac{1,9^4-1}{1,9-1}1,9^4$. Проверим истинность этого неравенства: $1,9^{4}-11,9^5-1,9^4 \Leftrightarrow 2\times 1,9^4-1,9^5=1,9^4\times0,11\; \checkmark$.

б) Предположим, что можно. Тогда, в частности, можно составить два одинаковых отрезка. Рассмотрим набор степеней числа $1,9$, которые формируют первый отрезок. Пусть это числа $x_{1},\; x_{2},...,x_{n}$, для второго отрезка возьмем степени $y_{1},\; y_{2},...,y_{m}$. Получим $1,9^{x_{1}}+1,9^{x_{2}}+...+1,9^{x_{n}}=1,9^{y_{1}}+1,9^{y_{2}}+...+1,9^{y_{m}}$(*). Теперь становится ясно, почему это не может быть верно. Ведь то, что мы видим, похоже на запись числа в системе счисления, пусть и "необычной". Но двух различных записей одного числа не бывает. Однако трудно говорить об этом, имея дробную систему счисления. Пусть $x_{i}x_{j}, \forall ij\;\; \&\;\; y_{i}y_{j},\forall ij$, другими словами, степени расставлены по порядку. Умножим уравнение на $10^{\max(x_{n},\;y_{m})}$, получим только целые числа вида $10^{\alpha}19^{\beta}$. Пусть $\alpha\geq \beta$ . Выберем такое число $\gamma$, что $2\gamma \alpha\gamma$. Тогда число $(190)^{\gamma}\times 10^{\alpha-\gamma}\times 19^{\beta-\gamma}$ записано в системе счисления 190, поскольку, как легко видеть, $10^{\alpha-\gamma}\times 19^{\beta-\gamma}$. Отсюда и следует наше противоречие.

Впрочем, кажется, что это перебор, и можно было решить проще: в (*) вычеркнем равные члены с обеих сторон. Получим, что сумма разных степеней равна другой сумме разных степеней. Теперь в левой части к большим степеням перекинем с правой стороны меньшие, а для правой части наоборот. Значит, отрицательное число равно положительному. Противоречие.

Однако для тренировки, мне представляется, было полезно рассмотреть оба подхода.