Question

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система (x-2a-2)^2+(y-a)^2=1 y^2=x^2 имеет ровно четыре решения.

Answer 1

Для того чтобы найти все значения параметра а, при которых данная система имеет ровно четыре решения, нам нужно решить уравнения системы и выяснить, при каких значениях а уравнения пересекаются в четырех точках.

1. Начнем с уравнения окружности (x-2a-2)^2 + (y-a)^2 = 1. Раскроем скобки:
x^2 - 4ax + 4a^2 + 4x - 8a - 4 + y^2 - 2ay + a^2 = 1.

2. Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения:
x^2 + y^2 -4ax - 2ay + 4a^2 + 4x - 2a^2 - 8a - 3 = 0.

3. Заметим, что коэффициенты при x и y не равны. Это значит, что у нас есть уравнение окружности, а не прямой. Поэтому, чтобы иметь четыре решения, окружность должна пересекать прямую y^2 = x^2 в четырех точках. Или другими словами, нужно, чтобы дискриминант соответствующего уравнения был больше нуля.

Дискриминант уравнения y^2 = x^2 равен 0, так как уравнение имеет два одинаковых корня.

4. Для нашей системы дискриминант равен:
(-4a)^2 - 4(1)(4a^2 + 4x - 2a^2 - 8a - 3) = 0.

Упростим выражение:
16a^2 - 16a^2 - 16x + 8a^2 + 32a + 12 = 0.

5. Сгруппируем слагаемые:
8a^2 + 32a - 16x + 12 = 0.

6. Вынесем общий множитель 4:
4(2a^2 + 8a - 4x + 3) = 0.

7. Решим полученное квадратное уравнение 2a^2 + 8a - 4x + 3 = 0:
D = 8^2 - 4 * 2 * (3 - 4x) = 64 - 8(3 - 4x) = 64 - 24 + 32x = 32x + 40.

8. Уравнение имеет два корня, если D больше нуля:
32x + 40 > 0,
32x > -40,
x > -40/32,
x > -5/4.

Таким образом, при значениях x > -5/4 система имеет ровно четыре решения.

В ответе нет значений параметра а, так как значения x, при которых система имеет четыре решения, не зависят от конкретного значения а.