Question

Нужно найти частные производные функции z=ctg(x+y). Не очень понимаю, как делать

Answer 1

Если существует предел $\displaystyle \lim_{\Delta x_{k} \to 0}\dfrac{\Delta_{x_{k}}u}{\Delta x_{k}},$ то этот предел называется частной производной от функции $u = u(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n})$ по переменной $x_{k}$ и обозначается $u'_{x_{k}}$ или $\dfrac{\partial u}{\partial x_{k}}$

Для функции $z = f(x, y)$ следует найти частные производные $z'_{x}$ и $z'_{y}$

Для нахождения таких производных по данной переменной следует все переменные, кроме данной, считать константами (числами).

Например, для функции $z = 2x + 5y$ частной производной функции по переменной $x$ будет: $z'_{x} = (2x + 5y)'_{x} = (2x)'_{x} + (5y)'_{x} = 2$ (считаем выражение $5y$ числовым, производная от которого равна нулю), и аналогично по переменной $y$ будет: $z'_{y} = (2x + 5y)'_{y} = (2x)'_{y} + (5y)'_{y} = 5$

Для заданной функции $z = \text{ctg} (x + y)$ найдем частные производные $z'_{x}$ и $z'_{y}$

Воспользуемся формулой $(\text{ctg} \, u)' = -\dfrac{1}{\cos^{2}u} \cdot u'.$

Имеем:

$z'_{x} = \dfrac{\partial z}{\partial x} = -\dfrac{1}{\cos^{2}(x + y)} \cdot (x + y)'_{x} = -\dfrac{1}{\cos^{2}(x + y)}$

$z'_{y} = \dfrac{\partial z}{\partial y} = -\dfrac{1}{\cos^{2}(x + y)} \cdot (x + y)'_{y} = -\dfrac{1}{\cos^{2}(x + y)}$

ответ: $z'_{x} = z'_{y} = -\dfrac{1}{\cos^{2}(x + y)}$