Вероятность попадания в цель из орудия при первом выстреле равна 0,1, при втором – 0,4, при третьем – 0,7. Предлагается произвести три выстрела. Случайная величина Х – число попаданий в цель. Найти закон распределения указанной дискретной случайной величины. Вычислить математическое ожидание M[X}.
Х может принимать значения от 0 до 3, так как это количество возможных попаданий при трех выстрелах.
1) Понятно, что если при первом выстреле не попали, то при втором и третьем выстрелах точность увеличивается и вероятность попадания в цель также возрастает.
2) Если при первом выстреле попали, то есть одно попадание, и вероятность этого события равна 0.1. Однако это не значит, что не может быть дополнительных попаданий при втором и третьем выстрелах.
3) Аналогично, если при первом выстреле не попали, но при втором выстреле попали, то есть одно попадание, и вероятность этого события равна 0.4. В этом случае также не исключено дополнительное попадание при третьем выстреле.
4) Если при первом и втором выстреле попали, то есть два попадания, и вероятность этого события равна произведению вероятностей попадания при первом и втором выстреле, то есть 0.1 * 0.4 = 0.04. В этом случае не будет дополнительного попадания при третьем выстреле.
5) Аналогично, если при первом и третьем выстреле попали, то есть два попадания, и вероятность этого события равна произведению вероятностей попадания при первом и третьем выстреле, то есть 0.1 * 0.7 = 0.07. В этом случае не будет дополнительного попадания при втором выстреле.
6) Если при втором и третьем выстреле попали, то есть два попадания, и вероятность этого события равна произведению вероятностей попадания при втором и третьем выстреле, то есть 0.4 * 0.7 = 0.28. В этом случае не будет дополнительного попадания при первом выстреле.
7) Если при всех трех выстрелах попали, то есть три попадания, и вероятность этого события равна произведению вероятностей попадания при всех трех выстрелах, то есть 0.1 * 0.4 * 0.7 = 0.028.
Теперь у нас есть все возможные значения случайной величины Х и их вероятности:
X = 0, вероятность = (0.9 * 0.6 * 0.3) = 0.162
X = 1, вероятность = (0.1 * 0.6 * 0.3) + (0.9 * 0.4 * 0.3) + (0.9 * 0.6 * 0.7) = 0.108 + 0.108 + 0.378 = 0.594
X = 2, вероятность = (0.1 * 0.4 * 0.3) + (0.1 * 0.6 * 0.7) + (0.9 * 0.4 * 0.7) = 0.012 + 0.042 + 0.252 = 0.306
X = 3, вероятность = 0.028
Таким образом, закон распределения случайной величины Х будет:
X = 0, вероятность = 0.162
X = 1, вероятность = 0.594
X = 2, вероятность = 0.306
X = 3, вероятность = 0.028
Для нахождения математического ожидания M[X], нужно умножить каждое значение случайной величины на его вероятность и сложить результаты:
M[X] = (0 * 0.162) + (1 * 0.594) + (2 * 0.306) + (3 * 0.028)
= 0 + 0.594 + 0.612 + 0.084
= 1.29
Таким образом, математическое ожидание M[X] равно 1.29.