Question

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y= -x^2+6x И y=2x+3

Answer 1

Решение:

Приравняем данные функции и решим полученное уравнение:

${-x}^{2}+6x=2x+3 \\ \\ {-x}^{2}+6x-2x-3=0 \\ \\ {-x}^{2}+4x-3=0 \\ \\ D=b^2-4ac=4^2-4\cdot(-1)\cdot(-3)=16-12=4 \\ \\ x_1=\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\dfrac{-4+\sqrt{4}}{2\cdot(-1)}=\dfrac{-4+2}{-2}=\dfrac{-2}{-2}=1 \\ \\ x_2=\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\dfrac{-4-\sqrt{4}}{2\cdot(-1)}=\dfrac{-4-2}{-2}=\dfrac{-6}{-2}=3$

Теперь находим определённый интеграл. Это и будет ответом.

$\displaystyle \int\limits^3_1 {{-x}^{2}+4x-3} \, dx =\int\limits {{-x}^{2}} \, dx +\int\limits {4x} \, dx -\int\limits {3} \, dx=(-\dfrac{{x}^{3}}{3} +2{x}^{2}-3x)\Big|^3_1= \\ \\ =-\dfrac{27}{3}+18-9-(-\dfrac{1}{3}+2-3)=-9+9+\dfrac{1}{3}+1=\dfrac{1+3}{3}=\dfrac{4}{3}=1\dfrac{1}{3}$

ответ: $\Large{\boxed{S=1\dfrac{1}{3}}}$ ед².