Для начала рассмотрим уравнение √3sinx + cosx = 0.
Для удобства проведем следующую замену: пусть t = tan(x/2). Тогда, используя соотношение sinx = 2t/(1+t^2) и cosx = (1-t^2)/(1+t^2), мы получаем следующее уравнение:
√3 * 2t/(1+t^2) + (1-t^2)/(1+t^2) = 0.
Упрощая это уравнение, получаем:
2√3t + (1-t^2) = 0.
Переносим все слагаемые в левую часть:
(1-t^2) + 2√3t = 0.
Теперь, рассмотрим это уравнение как квадратное относительно переменной t:
- t^2 + 2√3t + 1 = 0.
Чтобы решить это квадратное уравнение, мы можем воспользоваться формулой дискриминанта:
D = b^2 - 4ac,
где a = -1, b = 2√3 и c = 1.
Вычисляем дискриминант:
D = (2√3)^2 - 4(-1)(1) = 12 + 4 = 16.
Если дискриминант положительный, то у уравнения есть два действительных корня. Если равен нулю - один корень. Если отрицательный - корней нет.
Так как дискриминант равен 16, то у уравнения есть два корня. Теперь найдем значения самих корней.
Используя формулу для корня квадратного уравнения:
Теперь мы можем найти значения x, воспользовавшись обратной заменой t = tan(x/2):
x1 = 2 * arctan(t1) = 2 * arctan(√3 + 2).
x2 = 2 * arctan(t2) = 2 * arctan(-√3 + 2).
Итак, мы получили два значения x, которые являются решениями данного уравнения.
Однако, в вопросе требуется найти только те решения, которые принадлежат отрезку [0;π]. Для этого нам нужно проверить, лежат ли найденные значения x1 и x2 в этом интервале.
Проверим для x1:
0 ≤ 2 * arctan(√3 + 2) ≤ π.
Для этого нам нужно разделить оба неравенства на 2:
0/2 ≤ arctan(√3 + 2) ≤ π/2.
Так как тангенс угла принимает значения только в интервале (-π/2;π/2), то у нас получается, что:
0 ≤ arctan(√3 + 2) ≤ π/2.
Таким образом, x1 = 2 * arctan(√3 + 2) принадлежит интервалу [0;π].
Аналогично проверяем для x2:
0 ≤ 2 * arctan(-√3 + 2) ≤ π.
Опять же делим оба неравенства на 2:
0/2 ≤ arctan(-√3 + 2) ≤ π/2.
Так как тангенс угла принимает значения только в интервале (-π/2;π/2), то получаем:
0 ≤ arctan(-√3 + 2) ≤ π/2.
Таким образом, x2 = 2 * arctan(-√3 + 2) принадлежит интервалу [0;π].
Итак, получаем, что оба значения x1 и x2 являются решениями уравнения √3sinx + cosx = 0 и принадлежат отрезку [0;π].
Подробные вычисления и проверки сделаны, так что теперь школьнику будет понятен ответ и пояснение к нему.
Для удобства проведем следующую замену: пусть t = tan(x/2). Тогда, используя соотношение sinx = 2t/(1+t^2) и cosx = (1-t^2)/(1+t^2), мы получаем следующее уравнение:
√3 * 2t/(1+t^2) + (1-t^2)/(1+t^2) = 0.
Упрощая это уравнение, получаем:
2√3t + (1-t^2) = 0.
Переносим все слагаемые в левую часть:
(1-t^2) + 2√3t = 0.
Теперь, рассмотрим это уравнение как квадратное относительно переменной t:
- t^2 + 2√3t + 1 = 0.
Чтобы решить это квадратное уравнение, мы можем воспользоваться формулой дискриминанта:
D = b^2 - 4ac,
где a = -1, b = 2√3 и c = 1.
Вычисляем дискриминант:
D = (2√3)^2 - 4(-1)(1) = 12 + 4 = 16.
Если дискриминант положительный, то у уравнения есть два действительных корня. Если равен нулю - один корень. Если отрицательный - корней нет.
Так как дискриминант равен 16, то у уравнения есть два корня. Теперь найдем значения самих корней.
Используя формулу для корня квадратного уравнения:
t = (-b ± √(D))/(2a),
мы можем найти значения t:
t1 = (-2√3 - √16)/(2*(-1)) = (-2√3 - 4)/(-2) = √3 + 2.
t2 = (-2√3 + √16)/(2*(-1)) = (-2√3 + 4)/(-2) = -√3 + 2.
Теперь мы можем найти значения x, воспользовавшись обратной заменой t = tan(x/2):
x1 = 2 * arctan(t1) = 2 * arctan(√3 + 2).
x2 = 2 * arctan(t2) = 2 * arctan(-√3 + 2).
Итак, мы получили два значения x, которые являются решениями данного уравнения.
Однако, в вопросе требуется найти только те решения, которые принадлежат отрезку [0;π]. Для этого нам нужно проверить, лежат ли найденные значения x1 и x2 в этом интервале.
Проверим для x1:
0 ≤ 2 * arctan(√3 + 2) ≤ π.
Для этого нам нужно разделить оба неравенства на 2:
0/2 ≤ arctan(√3 + 2) ≤ π/2.
Так как тангенс угла принимает значения только в интервале (-π/2;π/2), то у нас получается, что:
0 ≤ arctan(√3 + 2) ≤ π/2.
Таким образом, x1 = 2 * arctan(√3 + 2) принадлежит интервалу [0;π].
Аналогично проверяем для x2:
0 ≤ 2 * arctan(-√3 + 2) ≤ π.
Опять же делим оба неравенства на 2:
0/2 ≤ arctan(-√3 + 2) ≤ π/2.
Так как тангенс угла принимает значения только в интервале (-π/2;π/2), то получаем:
0 ≤ arctan(-√3 + 2) ≤ π/2.
Таким образом, x2 = 2 * arctan(-√3 + 2) принадлежит интервалу [0;π].
Итак, получаем, что оба значения x1 и x2 являются решениями уравнения √3sinx + cosx = 0 и принадлежат отрезку [0;π].
Подробные вычисления и проверки сделаны, так что теперь школьнику будет понятен ответ и пояснение к нему.