Question

В центре О ромба, периметр которого равен 40 см, а диагонали относятся как 3:4 построен перпендикуляр ОМ=8 см к его плоскости. Найти растояние от точки М до вершин ромба.

Answer 1

Центр ромба - это точка пересечения его диагоналей.

Найдем сторону a ромба (у ромба все стороны равны):

a = P/4 = 40см/4 = 10см.

Пусть диагонали ромба d₁ и d₂.

По условию d₁/d₂ = 3/4.

d₁ = 3t,

d₂ = 4t.

Диагонали ромба перпендикулярны друг другу и точкой пересечения делятся пополам. Тогда по т. Пифагора для ΔAOB имеем

a² = (d₁/2)² + (d₂/2)² = (3t/2)² + (4t/2)² = (9t²/4) + (16t²/4) = 25t²/4,

(10см)² = 100см²= 25t²/4,

t² = 100·4/25 см² = 4² см²,

$t = \sqrt{4^2} = 4$ см.

d₁ = 3·4 = 12 см

d₂ = 4·4 = 16 см.

Найдём расстояния от точки M до вершин ромба. По т. Пифагора для

ΔMOA имеем

AM² = MO² + (d₂/2)² = (8см)² + (16см/2)² = (64 + 64) см² = 64·2 см²

$AM = \sqrt{64\cdot 2} = 8\cdot\sqrt{2}$ см.

По т. Пифагора для ΔMOB имеем:

MB² = MO² + (d₁/2)² = (8см)² + (12см/2)² = (64 + 36) см² = 100 см²

$MB = \sqrt{100} = 10$ см.

ответ. $8\cdot\sqrt{2}$ см, 10 см.