Для вычисления длины дуги полукубической параболы между двумя точками, мы будем использовать формулу для длины криволинейного отрезка в прямоугольной системе координат:
L = ∫(a,b) √(1+(y')^2) dx,
где a и b - координаты точек, между которыми мы хотим найти длину дуги, y' - производная функции у по x.
Давайте рассмотрим каждый шаг подробно:
1. Найдем производную функции y=x^3/2.
y' = (3/2)x^(3/2-1) = (3/2)x^(1/2).
2. Подставим эту производную в формулу длины дуги:
L = ∫(0,4) √(1+((3/2)x^(1/2))^2) dx.
3. Упростим подынтегральное выражение:
L = ∫(0,4) √(1+(9/4)x) dx.
4. Перепишем корень как степень:
L = ∫(0,4) ((1+(9/4)x)^(1/2)) dx.
5. Для упрощения выражения воспользуемся тригонометрической заменой.
Пусть u = 1 + (9/4)x.
Тогда du/dx = 9/4 и dx = 4/9 du.
6. Подставим новые значения в интеграл:
L = ∫(0,4) ((1+(9/4)x)^(1/2)) dx
= ∫(1,10) √u * (4/9) du
= (4/9) ∫(1,10) u^(1/2) du.
L = ∫(a,b) √(1+(y')^2) dx,
где a и b - координаты точек, между которыми мы хотим найти длину дуги, y' - производная функции у по x.
Давайте рассмотрим каждый шаг подробно:
1. Найдем производную функции y=x^3/2.
y' = (3/2)x^(3/2-1) = (3/2)x^(1/2).
2. Подставим эту производную в формулу длины дуги:
L = ∫(0,4) √(1+((3/2)x^(1/2))^2) dx.
3. Упростим подынтегральное выражение:
L = ∫(0,4) √(1+(9/4)x) dx.
4. Перепишем корень как степень:
L = ∫(0,4) ((1+(9/4)x)^(1/2)) dx.
5. Для упрощения выражения воспользуемся тригонометрической заменой.
Пусть u = 1 + (9/4)x.
Тогда du/dx = 9/4 и dx = 4/9 du.
6. Подставим новые значения в интеграл:
L = ∫(0,4) ((1+(9/4)x)^(1/2)) dx
= ∫(1,10) √u * (4/9) du
= (4/9) ∫(1,10) u^(1/2) du.
7. Интегрируем:
L = (4/9) * (2/3) * u^(3/2) |_1^10
= (8/27) * (10^(3/2) - 1^(3/2))
= (8/27) * (100^(1/2) - 1).
8. Упростим:
L = (8/27) * (10 - 1)
= (8/27) * 9
= 8/3.
Таким образом, длина дуги полукубической параболы между точками O(0,0) и A(4,8) равна 8/3.