Из условия следует, что ни у кого нет троих не знакомых с ним, а также то, что нет тройки попарно незнакомых. В противном случае к ним добавляем каких-то двоих, и этих пятерых будет не рассадить.
Из условия следует, что ни у кого нет троих не знакомых с ним, а также то, что нет тройки попарно незнакомых. В противном случае к ним добавляем каких-то двоих, и этих пятерых будет не рассадить.Рассмотрим дополнение графа знакомств в полном графе -- это удобно, так как рёбер мало. Степень каждой вершины не больше 2, и в графе нет треугольников. Рассмотрим связную компоненту. Это или линейный граф (возможно, из одной вершины), или цикл. Будем в каждой компоненте выбирать подмножество вершин, в котором нет соединений. Если мы в сумме наберём 12 человек, то задача решена: представители разных компонент между собой знакомы.
Из условия следует, что ни у кого нет троих не знакомых с ним, а также то, что нет тройки попарно незнакомых. В противном случае к ним добавляем каких-то двоих, и этих пятерых будет не рассадить.Рассмотрим дополнение графа знакомств в полном графе -- это удобно, так как рёбер мало. Степень каждой вершины не больше 2, и в графе нет треугольников. Рассмотрим связную компоненту. Это или линейный граф (возможно, из одной вершины), или цикл. Будем в каждой компоненте выбирать подмножество вершин, в котором нет соединений. Если мы в сумме наберём 12 человек, то задача решена: представители разных компонент между собой знакомы.Для линейного графа раскрасим вершины через одну, и возьмём тот цвет, представителей которого не меньше. Это даст как минимум половину. Если цикл имеет чётную длину, то мы также выбираем половину -- через одного. Наконец, пусть цикл имеет длину 2k+1, где k>=2. Тогда можно взять k человек с номерами 2, 4, ... , 2k. Доля числа взятых равна k/(2k+1)>=2/5. Отсюда следует, что мы можем взять как минимум 2/5 от общего числа, а это и есть 12. Они попарно знакомы.
AK = x, BL = y,
тк AB = CD и BC = AD
имеем:
cm = ak = x
kb = md = nx
nd = bl = y
lc = an = ny
ΔAKN = ΔLME по 1 признаку (ak = cm, an = lc, ∠kan = ∠lcm)
=> kn = lm
аналогично получаем
kl = nm
Таким образом, в 4-хугольнике klmn противоположные стороны равны => этот 4-хугольник - параллелограмм
пусть km ∩ ln = O
Δaon = Δloc по 2 признаку (an = lc = ny, ∠oan = ∠ocl и ∠olc = ∠ona как внутренние накрест лежащие при AD || BC) => ∠aon = ∠loc => ∠aoc = 180 => с лежит на прямой ao
из равенства треугольников также следует, что ao = oc => точка o - точка пересечения диагоналей парал-ма abcd, что и требовалось доказать
б) пусть ak = cm = 2x
kb = md = 5x
bl = nd = 2y
an = lc = 5y
заметим, что sin(bad) = sin(180 - bad) = sin(abc) = sinA
Sabcd = 7x * 7y * sinA = 49xysinA
Sklmn = Sabcd - 2(Sakn + Sbkl) = 49xysinA - 2(10xysinA / 2 + 10xysinA / 2) = 49xysinA - 20xysinA = 29xysinA
Sklmn / Sabcd = 29xysinA / (49xysinA) = 29 / 49
ответ: а) доказано; б) 29 / 49.