Question

Ещё один интеграл! Прощу зала! Очень нужно.

Answer 1

$\int \frac{x+1}{\sqrt[5]{x}+4}dx = \frac{5}{9}\sqrt[5]{x^9}-\frac{5}{2}\sqrt[5]{x^8}+\frac{80}{7}\sqrt[5]{x^7}-\frac{160}{3}\sqrt[5]{x^6}+ 256x-\frac{5115}{4}\sqrt[5]{x^4}+6820\sqrt[5]{x^3}-40920\sqrt[5]{x^2}+327360\sqrt[5]x - 1309440\ln|\sqrt[5]x+4| + C$

Пошаговое объяснение:

$\int \frac{x+1}{\sqrt[5]{x}+4}dx$

Сделаем замену переменной: $t=\sqrt[5]{x} = x=t^5 = dx = 5t^4dt$

$\int \frac{x+1}{\sqrt[5]{x}+4}dx = \int \frac{t^5+1}{t+4}5t^4dt = 5\int \frac{t^9+t^4}{t+4}dt$

Разделим в подынтегральном выражении многочлен в числителе на многочлен в знаменателе, это можно сделать либо "в столбик", либо по схеме Горнера, компактнее будет по второму варианту:

  | 1 | 0 | 0 |  0  |  0  |     1   |    0   |    0     |    0    |       0

-4| 1 | -4| 16|-64|256|-1023|4092|-16368|65472|-261888

То есть после деления имеем:

$5\int \frac{t^9+t^4}{t+4}dt = 5\int (t^8-4t^7+16t^6-64t^5+256t^4-1023t^3+4092t^2-16368t + 65472 - \frac{261888}{t+4})dt = 5\frac{t^9}{9}-20\frac{t^8}{8}+80\frac{t^7}{7}-320\frac{t^6}{6}+5\cdot 256\frac{t^5}{5}-5115\frac{t^4}{4}+20460\frac{t^3}{3}-81840\frac{t^2}{2}+327360t - 1309440\ln|t+4| + C = \frac{5}{9}t^9-\frac{5}{2}t^8+\frac{80}{7}t^7-\frac{160}{3}t^6+ 256{t^5}-\frac{5115}{4}t^4+6820{t^3}-40920{t^2}+327360t - 1309440\ln|t+4| + C$

Возвращаясь к исходной замене, получаем:

$\int \frac{x+1}{\sqrt[5]{x}+4}dx = \frac{5}{9}\sqrt[5]{x^9}-\frac{5}{2}\sqrt[5]{x^8}+\frac{80}{7}\sqrt[5]{x^7}-\frac{160}{3}\sqrt[5]{x^6}+ 256x-\frac{5115}{4}\sqrt[5]{x^4}+6820\sqrt[5]{x^3}-40920\sqrt[5]{x^2}+327360\sqrt[5]x - 1309440\ln|\sqrt[5]x+4| + C$